Tenseur de Levi-Civita

Dans un espace euclidien orienté de dimension , le tenseur de Levi-Civita – ou tenseur dualiseur – est le tenseur dont les coordonnées dans une base orthonormale directe sont données par le symbole de Levi-Civita d'ordre N. En effet, le symbole de Levi-Civita d'ordre N ou (aussi appelé pseudo-tenseur unité complètement antisymétrique) n'est pas un tenseur. Par exemple, ses composantes devraient être multipliées par lorsque le système de coordonnées est réduit d'un facteur 2.

Tenseur dualiseurModifier

DéfinitionModifier

Dans un espace euclidien orienté il existe une forme volume canonique, notée ici  , définie comme l'unique forme volume telle que   pour une (et donc pour toute) base orthonormale directe  .

Le tenseur   est aussi appelé tenseur de Levi-Civita ou encore tenseur dualiseur.

Coordonnées covariantes et contravariantesModifier

Dans une base   quelconque, on note   la matrice du tenseur métrique et   sa matrice inverse. Le déterminant   peut s'exprimer à l'aide du symbole de Levi-Civita.

 

Les coordonnées covariantes et contravariantes du tenseur de Levi-Civita vérifient les relations

 

et

 


On en déduit, dans une base directe quelconque, les relations

 

et

 

Puisque   dans une base orthonormale, on retrouve ce qui est dit en introduction.

Dans une base rétrograde (ou indirecte), l'expression des coordonnées à l'aide du symbole de Levi-Civita est légèrement modifiée : il faut remplacer   par  . En introduisant le symbole   egal à 1 si la base est directe et -1 si la base est indirecte on a dans le cas général

 

et

 

Cas des espaces pseudo-euclidiensModifier

Dans un espace pseudo-euclidien le déterminant du tenseur métrique n'est pas nécessairement positif. Par exemple dans le cas de l'espace de Minkowski (l'espace-temps quadridimensionnel de la relativité restreinte), le déterminant du tenseur métrique est négatif.

Les relations précédentes peuvent s'écrire, dans une base quelconque, sous une forme valable quel que soit le signe de  

 

et

 

Par la suite on utilisera le symbole   à la place de la lettre grecque  .


Propriétés du tenseur dualiseurModifier

Produit de tenseurs dualiseursModifier

Les formules suivantes découlent directement des formules obtenues avec le symbole de Levi-Civita d'ordre N. Le symbole   est le symbole de Kronecker, représentant le tenseur unité. On se place dans le cas euclidien.

Résultat d'ordre 2Modifier

 

En effet, si k est différent de l il existe au moins deux indices égaux, soit dans le coefficient du premier tenseur, soit dans celui du second. Le coefficient correspondant est nul, ainsi que le produit. Si k est égal à l, les facteurs respectifs   et   apparaissant dans chacun des deux tenseurs se simplifient. Les symboles de Levi-Civita   et   prennent la même valeur 1 ou -1 dans les deux coefficients et leur produit vaut 1. Enfin, pour chaque valeur commune de k = l, il y a   choix possibles des indices  .

Résultat d'ordre 4Modifier

 

La démonstration est comparable au cas précédent, les seuls cas où l'on obtient un résultat non nul étant celui où k = l et m= n, pour lequel les symboles de Levi-Civita apparaissant dans les deux tenseurs sont de même signe, et le cas où k = n et l = m, pour lequel les symboles sont de signes contraires, d'où le signe - devant  . Pour une paire {k, l} d'éléments distincts donnés, il existe   choix possibles des indices  .

Nullité de la dérivée covariante du tenseur dualiseurModifier

La dérivée covariante du tenseur dualiseur est nulle :

 .

Définition de tenseurs duaux au sens de HodgeModifier

Le produit du tenseur dualiseur avec un tenseur d'ordre   dans un espace de dimension   définit un tenseur d'ordre  , son dual au sens de Hodge.

 

Le produit met ici arbitrairement en jeu les   derniers indices du tenseur dualiseur. On aurait aussi bien pu prendre les   premiers indices. Les deux conventions différent d'un signe - dans certains cas.

Exemple, tenseurs duaux en dimension 3 :

Un vecteur   possède un tenseur antisymétrique dual :

 .

Réciproquement, le dual d'un tenseur antisymétrique   est un vecteur :

 

Le dual du dual est le vecteur ou le tenseur antisymétrique lui-même. En effet, on a pour un vecteur :

 .

et pour un tenseur antisymétrique :

 .

Voir aussiModifier