Tenseur (mathématiques)

Les tenseurs sont des objets mathématiques issus de l'algèbre multilinéaire permettant de généraliser les scalaires et les vecteurs. On les rencontre notamment en analyse vectorielle et en géométrie différentielle fréquemment utilisés au sein de champs de tenseurs. Ils sont aussi utilisés en mécanique des milieux continus.

Le présent article ne se consacre qu'aux tenseurs dans des espaces vectoriels de dimension finie, bien que des généralisations en dimension infinie et même pour des modules existent.

Principe généralModifier

Le principe est de généraliser les notions de scalaires et de vecteurs en dimension finie. Les tenseurs d'un type donné sont eux-mêmes membres d'un espace vectoriel :

  • ils possèdent une addition et un produit par les scalaires ;
  • ils sont indépendants d'un choix de base mais peuvent être représentés par des tableaux à plusieurs entrées pour un choix de base donnée.

S'y ajoutent deux opérations : un produit, dit tensoriel, permettant de multiplier deux tenseurs (éventuellement de natures distinctes) ainsi qu'une application linéaire qui réduit leur taille, appelée contraction.

Comme évoqué ci-dessus les scalaires et les vecteurs constituent des exemples simples de tenseurs. Dans une base donnée, un vecteur (tenseur d'ordre 1) peut être représenté par la donne d'un n-uplet de coordonnées. Les matrices n×n — qui peuvent représenter suivant les cas des endomorphismes, des bivecteurs ou encore des formes bilinéaires — forment une extension des n-uplets similaire à l'extension que représente les n-uplets par rapport aux scalaires. Les objets descriptibles par des matrices constituent donc les premiers types de tenseurs non triviaux, appelés tenseurs d'ordre 2. En prolongeant la réflexion on peut imaginer, toujours de manière informelle, des matrices cubiques n×n×n, correspondant aux tenseurs d'ordre 3, et ainsi de suite.

Les deux opérations classiques de la manipulation des tenseurs peuvent être intuitivement illustrées par certaines opérations matricielles. Il est en effet connu qu'en multipliant une matrice colonne par une matrice ligne (c'est-à-dire deux n-uplets) on obtient une matrice carrée (ou rectangulaire si les opérandes n'ont pas la même dimension). Il existe donc des transformations permettant d'augmenter l'ordre des tenseurs. Cette idée est à la base du produit tensoriel.

Inversement, le produit d'une matrice ligne par une matrice colonne se réduit à un scalaire. On voit ici apparaître l'idée de contraction.

Produit tensoriel d'espaces vectoriels de dimensions finiesModifier

Il est pratique, avant d'étudier le produit tensoriel de vecteurs et de donner un sens plus précis au terme tenseur, de considérer les espaces vectoriels qui interviennent dans sa définition. On note que le même symbole, à savoir  , est utilisé pour construire à la fois les tenseurs et les espaces auxquels ils appartiennent.

On notera par la suite   l'espace vectoriel des applications k-linéaires de   dans   (c'est-à-dire linéaires par rapport à chacune de leurs k variables).

DéfinitionsModifier

Soient   et   deux espaces vectoriels de dimension finie sur un corps commutatif   (en pratique il s'agit souvent de   ou de   mais d'autres corps sont possibles). On note   le dual de  . Le produit tensoriel de   par   — noté  , ou   s'il n'y a pas d'ambiguïté sur le corps — est un cas particulier de produit tensoriel de modules. Une définition plus simple peut être ici de le définir comme l'espace vectoriel des formes bilinéaires sur le couple d'espaces vectoriels  .

 

On rappelle par ailleurs qu'en dimension finie, on assimile sans problème   à son bidual  . On a donc de même :

 
 
 

Dans la théorie des catégories, les  -espaces vectoriels (de dimension finie mais on peut généraliser en dimension quelconque) forment un exemple standard de catégorie monoïdale pour le produit tensoriel ainsi défini.

PropriétésModifier

AssociativitéModifier

Les espaces vectoriels  ,   et   sont canoniquement isomorphes. Cette propriété permet de considérer le produit tensoriel comme associatif et d'assimiler le produit de k espaces de dimensions finies à l'espace des formes k-linéaires sur les espaces duaux. La mise en parenthèse est donc inutile :

     
   

DimensionModifier

La dimension d'un produit tensoriel d'espaces est égale au produit des dimensions de tous les espaces.

 

Le corps des scalairesModifier

  étant un espace vectoriel de dimension 1 sur lui-même, il peut être utilisé dans le produit tensoriel.   et   sont canoniquement isomorphes à  . On peut donc considérer   comme une sorte d'élément neutre.

 

Puissances tensoriellesModifier

On peut définir la  -ième puissance tensorielle d'un espace  , notée   ou  , par :

  • pour  ,   ;
  • pour  , en extrapolant les définitions précédentes,   ;
  • pour  , le choix de   permet de généraliser les formules de manière cohérente.

On a par ailleurs les propriétés :

 
 

DualitéModifier

Encore une fois par isomorphisme canonique on a :    

Espaces des applications linéaires et multilinéairesModifier

L'espace vectoriel   des applications linéaires de   dans   est canoniquement isomorphe à  . Plus généralement, l'espace des applications k-linéaires de   dans   est canoniquement isomorphe à  . Il est donc possible de confondre ces espaces.

À propos de la commutativitéModifier

Il existe un isomorphisme entre   et  . En pratique les assimiler (c'est-à-dire rendre   commutatif) n'est cependant pas toujours une bonne chose. C'est en particulier problématique lorsque  . En effet, cette assimilation pourrait dans ce cas amener à croire que le produit tensoriel de deux éléments (décrit ci-dessous) est commutatif, ce qui n'est pas le cas.

Dans la suite de cet article on considérera donc, sauf mention contraire,   et   comme deux espaces distincts. Les considérations liées à leur isomorphismes sont abordées dans ce paragraphe.

Tenseurs et produit tensoriel sur les élémentsModifier

L'intérêt premier du produit tensoriel est de définir une opération sur les vecteurs (ou plus généralement les éléments des modules) ayant des propriétés similaires à celle d'un produit. Cela dit, contrairement aux produits habituels, le produit tensoriel n'est pas une opération interne : il peut s'effectuer sur des vecteurs issus d'espaces vectoriels différents et son résultat (à quelques exceptions près) n'appartient à aucun des espaces en question. Les éléments intervenant dans de tels produits portent le nom de tenseurs.

DéfinitionModifier

Soit   et   deux formes linéaires. On notera   l'application définie par :

 

Il s'agit d'une forme bilinéaire : on a donc  . Le produit se généralise facilement aux formes multilinéaires.

Comme en dimension finie  , tout vecteur   (respectivement  ) peut être assimilé à une forme linéaire sur   (respectivement  ). On définit ainsi de manière générale le produit tensoriel de   et  , noté  , comme forme bilinéaire sur  .

La forme bilinéaire   est donc un tenseur appartenant à  . La forme bilinéaire   est quant à elle un tenseur appartenant à  . Les tenseurs peuvent donc être définis (en dimension finie) comme des formes multilinéaires munis d'un produit  .

RemarquesModifier

  • Réciproquement, tout tenseur   ne s'écrit pas nécessairement comme un produit  . En revanche, il peut toujours être décomposé en combinaison linéaire d'éléments de la forme    et  . C'est-à-dire qu'on peut toujours trouver des familles de vecteurs   et   et une famille de scalaires   telles que   .
  • On note bien que tout vecteur est un type de tenseur particulier (il est toujours assimilable à une forme 1-linéaire) et que tout tenseur fait partie d'un espace vectoriel. L'utilisation du terme tenseur sous-entend l'usage du produit tensoriel. En pratique le terme tenseur est surtout utilisé à propos de produits de vecteurs d'un même espace   ou de son dual  .

Propriétés du produit tensorielModifier

AssociativitéModifier

Grâce à l'isomorphisme canonique on peut considérer que le produit tensoriel est associatif. Autrement dit  . De plus on peut voir le tenseur   comme une forme trilinéaire :  . D'une manière générale si on se donne   vecteurs  , le tenseur   est un élément de  . C'est donc une forme  -linéaire.

Non commutativitéModifier

Si   et  , les tenseurs   et   appartiennent alors tous les deux au même espace  . Néanmoins on prendra bien soin de noter que dans le cas général  .

DistributivitéModifier

Le produit tensoriel se comporte bien comme un produit vis-à-vis de l'addition des espaces vectoriels :

 
 

Généralisation des produits usuelsModifier

On notera que le produit tensoriel généralise le produit par un scalaire défini sur les  -espaces vectoriels   ainsi que le produit dans le corps  . On a ainsi   et  .

Bases des espaces produitsModifier

Soit   une base de   et   une base de  . Alors la famille   forme une base de  . Par conséquent tout élément   admet une unique famille de coordonnées sur cette base :

 

Cette formule est bien cohérente avec le fait que  . Les coordonnées   sont explicitement calculables en utilisant les bases duales   et   par la formule :

 

Ces formules se généralisent pour   espaces vectoriels.

Opération de contractionModifier

DéfinitionModifier

Soit   un espace vectoriel de dimension finie sur un corps   tel que  . On suppose qu'il existe deux indices   et   tels que   (ou de manière complètement équivalente  ). Soit   une base de   ; la base duale   est donc une base de  . Étant donné un tenseur  , l'application

 

est une forme  -linéaire sur  , autrement dit un tenseur de  . Par ailleurs cette forme est indépendante du choix de la base de  . L'opération s'appelle contraction de   sur les indices   et  . Elle est parfois notée  

Il est important de garder à l'esprit que l'opération de contraction n'est possible que pour deux indices correspondant à des espaces duaux entre eux et n'a aucun sens dans d'autres cas. Il s'agit en outre d'une opération linéaire de   dans  .

Produit contractéModifier

En pratique la contraction est souvent utilisée au sein d'une opération appelée produit contracté et notée  ,   ou même simplement  . Le produit contracté de deux tenseurs est le résultat de leur produit tensoriel suivi d'une contraction d'un indice du premier par un indice du second. On notera que les notations sont lacunaires : elles ne précisent pas quels sont les indices de contraction. Par défaut, il s'agit en général du dernier indice du premier tenseur et du premier indice du second. Comme pour la contraction, le produit contracté n'a de sens que si les indices contractés correspondent à des espaces duaux.

Propriétés du produit contractéModifier

AssociativitéModifier

Le produit contracté est associatif si le tenseur du centre a au moins deux indices. Ainsi pour  ,   et  , on a bien  . Si le tenseur du centre n'a qu'un indice, il est possible que l'un des deux parenthésages n'ait pas de sens, et même dans le cas contraire, l'égalité ne sera pas réalisée dans le cas général.

DistributivitéModifier

Le produit contracté se comporte bien comme un produit vis-à-vis de l'addition des espaces vectoriels :

 
 

Image par le tenseur ou produit contractéModifier

Étant donné un tenseur   et   vecteurs tels que   on peut effectuer deux opérations :

  • calculer l'image des   vecteurs par   (qui, rappelons-le, peut toujours être vue comme une forme multilinéaire) :   ;
  • calculer les produits contractés successifs de   par chaque vecteur  .

Il s'agit en fait d'une seule et même opération :  

D'une manière plus générale, si   le tenseur   construit en évaluant la  -ème position de   est égal au produit contracté de   en son  -ème indice par   en son unique indice. Dès lors il devient possible d'occulter complètement l'aspect fonctionnel de   pour ne considérer que ses propriétés algébriques.

Crochet de dualitéModifier

Le crochet de dualité est donc un cas particulier du produit contracté :  .

Image par une application linéaireModifier

L'application linéaire   pouvant être vue comme un tenseur  , on peut calculer l'image d'un vecteur   comme étant le produit contracté  .

Composée d'applications linéairesModifier

Si   et   sont représentées par les tenseurs   et  , alors l'application composée   peut être représentée par le tenseur  .

Produit contracté plusieurs foisModifier

La contraction peut être exercée plusieurs fois à la suite d'un produit tensoriel. Par exemple le produit doublement contracté (noté  ,   ou par deux points dans un cercle) correspond à deux contractions successives après un produit tensoriel. Là encore les indices de contractions n'étant en général pas précisés, le produit doublement contracté   correspond souvent à la contraction du dernier indice de   par le premier de   et de l'avant dernier de   par le deuxième de  .

On peut définir de même un produit   fois contracté si les tenseurs le permettent.

Permutation d'indicesModifier

Les espaces   et   peuvent être mis en relation via un isomorphisme qui consiste simplement à inverser l'ordre des indices. Ainsi à tout   on peut associer un unique élément de  , que l'on notera  , tel que :

 

Ce principe se généralise pour   espaces. Soit   un espace vectoriel de dimension finie sur un corps   et   une permutation. On peut définir un isomorphisme   qui a tout élément   de   associe un tenseur   de  , défini par :

 

On voit bien qu'une permutation induit naturellement un isomorphisme entre les espaces   et  .

Pour des raisons de commodité, on peut utiliser la notation canonique des permutations consistant à n'indiquer que la liste différentes permutations circulaires. Ainsi l'application   transforme l'indice 1 en l'indice 2, l'indice 2 en l'indice 5, l'indice 5 en l'indice 1 et laisse invariant les autres indices.

En théorie des catégories, ce type d'applications, qui fournit une notion proche de la commutativité, est étudié dans le cadre des catégories monoïdales tressées.

Non unicité de l'isomorphismeModifier

Pour des espaces   et   donnés à priori, l'existence d'une telle application   n'implique cependant pas nécessairement son unicité. Supposons en effet qu'un espace   est présent plusieurs fois dans le produit  . Si l'espace   est un produit des mêmes   (mais dans un ordre éventuellement différent), il existe plus d'une permutation   telle que   soit un isomorphisme de   dans  . Ainsi pour   et  , on peut utiliser comme isomorphisme les applications  ,  ,  ,  ,   et  .

  peut être mis en relation avec lui-même via deux permutations : l'identité   et l'application  . En généralisant à un ordre quelconque, l'espace   peut être muni d'un groupe d'automorphismes constitué de telles applications. Ce groupe est en outre isomorphe à  .

C'est cette absence d'unicité dans le cas général qui oblige à tenir compte de l'ordre des indices. De fait, on s'abstient en règle générale de considérer le produit tensoriel d'espaces comme commutatif.

PropriétésModifier

TranspositionModifier

Dans le cas de produit de deux espaces, l'application   peut être appelée transposition. Cette notion est cohérente avec celle de transposition d'application linéaire. On sait en effet qu'une application linéaire   de   dans   peut être représentée par un tenseur  . Le tenseur transposé  , élément de   représente alors l'application transposée  , application de   dans  .

Composition et inverseModifier

Pour deux permutations   et   de  , on a :

 
 

Algèbre des tenseursModifier

DéfinitionModifier

Étant donné un espace vectoriel de dimension finie   on appelle tenseur sur     fois contravariant et   fois covariant (ou tenseur  ) tout élément de  .   et   sont les variances de ce type de tenseur,   est leur ordre (ou rang). Les tenseurs de type   forment un espace vectoriel. On fixe les notations :

  •  
  •  
  •  

L'algèbre des tenseurs de   notée   est définie suivant les auteurs, soit comme la somme directe des espaces des tenseurs contravariants, soit comme la somme directe des espaces des tenseurs à la fois contravariants et covariants. Afin de distinguer ces deux cas, on adopte les notations suivantes (non conventionnelles) :

  •  
  •  

Les algèbres   et   sont des algèbres sur le corps  . Ce sont même des algèbres graduées sur respectivement   et   ; toutes deux de dimension infinie.

L'algèbre extérieure sur   notée   possède des liens privilégiés avec l'algèbre   du fait d'une possible injection des espaces   dans  .

ÉlémentsModifier

  • L'algèbre tensorielle est surtout définie afin de donner une structure générale à l'ensemble des tenseurs. Ceci nécessite de prolonger l'addition qui n'est a priori pas définie entre les éléments de   et de   si  . Il faut pour cela introduire des éléments supplémentaires. Ainsi en considérant par exemple le cas de  , un élément est formellement une suite   telle que   et, par définition des sommes directes, dont seul un nombre fini d'éléments est non nul. Néanmoins en physique et dans beaucoup d'applications seuls les éléments appartenant à des sous-espaces de type   ou   sont pris en considération (ce sont les seuls pour lesquels les notions d'ordre et de variance ont un sens). Ils sont parfois appelés éléments homogènes de l'algèbre graduée.
  • Les éléments de   (avec  ) sont généralement appelés tenseurs contravariants, ceux de   (avec  ) tenseurs covariants et ceux de   (avec  ) tenseurs mixtes.
  • En toute rigueur, l'algèbre   n'offre a priori pas de liberté quant à l'ordre des indices covariants et contravariants. Elle ne contient par exemple pas l'espace  . Néanmoins on convient généralement qu'un tel espace est, si nécessaire, assimilé à   par permutation des indices (les indices contravariants sont décalés vers l'avant au besoin) :
 

Cette permutation permet d'affirmer que le produit tensoriel est bien une opération interne à  .

PropriétésModifier

OrdreModifier

Si   et   sont des tenseurs respectivement   et   sur  , alors   est (sous réserve de permutation des indices) un tenseur  .

  •  

Un produit contracté   (sur des indices à préciser) est un tenseur  . D'une manière générale toute opération de contraction diminue la covariance et la contravariance de 1. Elle réduit donc l'ordre de 2.

  •  

Trace des endomorphismesModifier

Un endomorphisme de   peut être vu comme un élément  , autrement dit un tenseur  . La trace de cet endomorphisme vaut   ; c'est-à-dire le résultat de la contraction de   par rapport à ses deux indices.

Symétrie et antisymétrieModifier

Soit un tenseur   de   et deux indices   et   correspondant au même espace vectoriel (c'est-à-dire soit   soit   pour les deux indices).

On dit que   est symétrique par rapport aux indices   et   si   .

On dit que   est antisymétrique par rapport aux indices   et   si   .

On dit que   est totalement symétrique s'il est symétrique pour tout couple d'indice. Il faut donc pour cela qu'il appartienne à   ou  .

On dit que   est totalement antisymétrique s'il est antisymétrique pour tout couple d'indice. Là encore, l'espace doit être   ou  .

Produit scalaireModifier

Un produit scalaire réel   sur un espace   de dimension finie sur   est un cas particulier de tenseur   symétrique qu'on peut noter  . Il est par ailleurs défini et positif. On a donc :

 

Cas des espaces euclidiens et quadratiquesModifier

Dans un espace euclidien (ou plus généralement dans un espace quadratiques non-dégénéré)  , l'existence d'un produit scalaire réel   (respectivement d'un pseudo-produit scalaire, c'est-à-dire d'une forme bilinéaire symétrique non dégénérée ou de manière équivalente d'une forme quadratique non-dégénérée) fournit des propriétés particulières aux tenseurs. Celui-ci permet en effet d'établir un isomorphisme canonique   associant une unique forme linéaire à tout vecteur :

Le (pseudo-) produit scalaire sur   définit en outre naturellement un (pseudo-) produit scalaire sur  . Il s'agit de l'unique élément de  , qu'on peut noter  , vérifiant pour tout  ,   et pour tout  ,  . L'isomorphisme   a pour réciproque  .

Assimilation avec le dualModifier

Via l'isomorphisme   on peut alors assimiler tout élément de   à un élément de   :  . D'une manière générale, cela permet de ne plus distinguer les indices contravariants et covariants. Dans ces conditions, un tenseur de type   peut être aussi bien vu comme un tenseur   que  . L'ordre   devient alors une caractéristique suffisante pour catégoriser tout tenseur construit sur  .

PropriétésModifier

Correspondance entre produits scalaire et contractéModifier

Il devient possible de contracter deux vecteurs de  . Cette contraction s'identifie au produit scalaire :  

Contractions sur des indices quelconquesModifier

On peut maintenant contracter deux indices correspondant au même espace quadratique   par utilisation implicite du produit scalaire :

À propos des espaces hermitiensModifier

Un produit scalaire hermitien n'est pas un tenseur : il n'est en effet que semi-linéaire par rapport à sa première variable. De fait, les propriétés énoncées ci-dessus ne s'appliquent pas dans le cadre des espaces hermitiens.

Calcul pratiqueModifier

La manipulation effective des tenseurs nécessite généralement de les représenter dans des bases particulières (mais néanmoins arbitraires). Soit   une base de  . On notera   sa base duale. Alors tout tenseur   de   peut s'écrire comme une combinaison linéaire de type :   Si la base est précisée par avance la donne des scalaires   caractérise entièrement le tenseur. Ils représentent les coordonnées du tenseur   dans la base considérée. L'ensemble des conventions d'utilisation des coordonnées des tenseurs est appelé convention d'Einstein. Il est possible de mélanger indices covariants et contravariants. Les indices contravariants sont notés en indices supérieurs, les indices covariants en indices inférieurs. Ainsi   se décompose dans une base donnée avec les composants  .

Il est cependant possible d'interpréter cette même notation utilisant des indices avec un sens intrinsèque (c'est-à-dire sans faire appel aux coordonnées). Il s'agit alors de la notation en indice abstrait.

Liens entre les notationsModifier

On se donne les tenseurs suivant :

  • Scalaires :  
  • Vecteurs :  
  • Covecteurs (formes linéaires) :  
  • Tenseurs d'ordre 2 :
    •  
    •  
    •  
    •  
    •  
    •  
  • Tenseurs d'ordre 3 et plus :
    •  
    •  
    •  
    •  

On choisit par ailleurs une base   dans  . Ce choix induit naturellement celui de la base duale   dans  . Les tenseurs précédemment définis admettent alors une seule décomposition dans ces bases.

Notation des opérations dans les espaces de dimension finie
Propriétés Notation sans indices Convention d'Einstein / Notation en indice abstrait
Produit tensoriel    
   
   
Produit contracté    
   
Contraction    
   
Permutation d'indices    
   
Mélange    

Liens entre les notations dans le cas des espaces quadratiquesModifier

On considère par ailleurs l'existence du (pseudo-) produit scalaire  .

Notation des opérations dans les espaces euclidiens
Propriétés Notation sans indices Convention d'Einstein / Notation en indice abstrait
Produit contracté    
   
Contraction    

À propos des changements de baseModifier

On notera que seule la convention d'Einstein admet des formules de changement de base. En effet, puisqu'elle prend le parti de représenter un tenseur par un jeu de coordonnées dans une base (voire plusieurs bases) prédéfinie, il existe des formules pour déterminer les coordonnées d'un même tenseur dans une nouvelle base (comme  ). Les notations sans indices et en indices abstrait étant par définition indépendantes d'un choix de base, elles n'admettent pas d'équivalents pour ces formules.

AnnexesModifier

Articles connexesModifier

Liens externesModifier

BibliographieModifier

(en) A. I. Kostrikin (en) et Yu I. Manin, Linear Algebra and Geometry, CRC Press, 1989 (ISBN 2881246834)