Forme bilinéaire non dégénérée

En mathématiques, une forme bilinéaire non dégénérée est une forme bilinéaire dont les deux espaces singuliers (à droite et à gauche) sont réduits à {0}.

Par exemple, un produit scalaire est un cas particulier de forme bilinéaire non dégénérée.

DéfinitionsModifier

Soient K un corps, E un K-espace vectoriel à gauche, F un K-espace vectoriel à droite et f une forme bilinéaire sur E×F.

  • On dit que f est dégénérée à droite (resp. à gauche) s'il existe un élément non nul   de F (resp.   de E) tel que   pour tout   (resp.   pour tout  ).
  • On appelle espace singulier à droite le sous-espace suivant de F :
     
  • On définit de même l'espace singulier à gauche  
  • On dit que f est non dégénérée si elle est non dégénérée à droite et à gauche.

PropriétésModifier

  • Pour un vecteur x de E, notons   la fonction partielle de f qui à   associe  . C'est une forme linéaire sur F, donc un élément du dual algébrique F* (qui est, comme E, un K-espace vectoriel à gauche). De plus, l'application   de E dans F* qui à   associe   est linéaire. Par construction,
     
  • Si E et F sont de dimension finie,   si et seulement si  , et cela équivaut à dire que f est non dégénérée.
  • Lorsque E est un espace vectoriel réel, toute forme bilinéaire symétrique non dégénérée positive sur E×E est définie (c'est donc un produit scalaire). C'est une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les formes bilinéaires positives.

RéférencesModifier