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Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Algèbre (homonymie).

En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une algèbre sur un corps commutatif K, ou simplement une K-algèbre, est une structure algébrique (A, +, ·, ×) telle que :

  1. (A, +, ·) est un espace vectoriel sur K ;
  2. la loi × est définie de A × A dans A (loi de composition interne) ;
  3. la loi × est bilinéaire.

Sommaire

DéfinitionsModifier

Une algèbre sur un corps commutatif K est un K-espace vectoriel A muni d'une opération binaire × (c'est-à-dire que le « produit » x×y de deux éléments de A est un élément de A) bilinéaire, ce qui signifie que pour tous vecteurs x, y, z dans A et tous scalaires a, b dans K, les égalités suivantes sont vraies :

  • (x + y) × z = x × z + y × z ;
  • x × (y + z) = x × y + x × z ;
  • (a x) × (b y) = (a b) (x × y).

Les deux premières égalités traduisent la distributivité de la loi × par rapport à la loi +.

On dit que K est le corps de base de A. L'opérateur binaire est souvent désigné comme la multiplication dans A.

Un morphisme entre deux algèbres A et B sur K est une application f : AB telle que

x, y A, ∀aK, f(x × y) = f(x) × f(y) et f(x + ay) = f(x) + af(y).

Deux algèbres A et B sur K sont dites isomorphes s'il existe une bijection de A dans B qui soit un morphisme d'algèbres.

GénéralisationModifier

Dans la définition, K peut être un anneau commutatif unitaire, et A un K-module. Alors, A est encore appelée une K-algèbre et on dit que K est l'anneau de base de A.

Article détaillé : algèbre sur un anneau.

Algèbres associatives, algèbres commutatives et algèbres unifèresModifier

Bases et tables de multiplication d'une algèbre sur un corpsModifier

Une base d'une algèbre A sur un corps K est une base de A pour sa structure d'espace vectoriel[2].

Si   est une base de A, il existe alors une unique famille   d'éléments du corps K tels que :

 

Pour i et j fixés, les coefficients sont nuls sauf un nombre fini d'entre eux. On dit que   sont les constantes de structure[2] de l'algèbre A par rapport à la base a, et que les relations   constituent la table de multiplication de l'algèbre A[2] pour la base a.

Exemples d'algèbres de dimension finieModifier

Algèbres associatives et commutativesModifier

Nombres complexesModifier

L'ensemble des nombres complexes (ℂ, + , ·, × ) est une ℝ-algèbre associative, unifère et commutative de dimension 2. Une base de l'algèbre ℂ est constituée des éléments 1 et i. La table de multiplication est constituée des relations :

1 i
1 1 × 1 = 1 1 × i = i
i i × 1 = i i × i = –1

Corps finisModifier

Tout corps fini est une algèbre associative, unifère et commutative de dimension n sur son sous-corps premier (Fp = ℤ/pℤ), donc son ordre est pn.

Par exemple le corps fini F4 est une algèbre de dimension 2 sur le corps F2 = ℤ/2ℤ dont la table de multiplication dans une base (1, a) est :

1 a
1 1 × 1 = 1 1 × a = a
a a × 1 = a a × a = 1 + a

Algèbres quadratiquesModifier

On peut démontrer que toute algèbre unifère de dimension 2 sur un corps est associative et commutative[3]. Sa table de multiplication dans une base (1, x) est de la forme :

1 x
1 1 × 1 = 1 1 × x = x
x x × 1 = x x × x = a1 + bx

Une telle algèbre est appelée algèbre quadratique de type (a, b) (le type pouvant dépendre de la base choisie).

Par exemple : ℂ est une ℝ-algèbre quadratique de type (–1, 0) pour la base (1, i) et F4 est une F2-algèbre quadratique de type (1, 1).

Algèbres associatives et non commutativesModifier

Matrices carréesModifier

Article détaillé : Matrice carrée.

L'ensemble   des matrices carrées d'ordre n ≥ 2 à coefficients réels est une ℝ-algèbre associative, unifère et non commutative de dimension n2.

QuaternionsModifier

Article détaillé : Quaternion.

L'ensemble (ℍ, + , ·, × ) des quaternions est une ℝ-algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4.

1 i j k
1 1 × 1 = 1 1 × i = i 1 × j = j 1 × k = k
i i × 1 = i i × i = –1 i × j = k i × k = –j
j j × 1 = j j × i = –k j × j = –1 j × k = i
k k × 1 = k k × i = j k × j = –i k × k = –1

BiquaternionsModifier

L'ensemble   des biquaternions est une ℂ-algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4 qui est isomorphe à l'algèbre   des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients complexes.

Algèbre unifère non associativeModifier

Article détaillé : Octonion.

L'ensemble des octonions   est une ℝ-algèbre unifère non associative et non commutative de dimension 8.

Algèbres non associatives et non unifèresModifier

Produit vectorielModifier

Article détaillé : Produit vectoriel.

L'espace euclidien3 muni du produit vectoriel,  , est une ℝ-algèbre non associative, non unifère et non commutative (elle est anti-commutative) de dimension 3.

La table de multiplication dans une base orthonormale directe ( ,  ,  ) est :

     
       
       
       

Crochet de LieModifier

Article détaillé : Crochet de Lie.

L'ensemble des matrices carrées d'ordre n ≥ 2 à coefficients réels, muni du crochet de Lie :  ,   est une ℝ-algèbre non associative, non unifère et non commutative de dimension n2. Elle est anti-commutative et possède des propriétés qui font de l'algèbre une algèbre de Lie.

Contre-exempleModifier

La ℝ-algèbre (ℍ, + , ·, × ) des quaternions est un ℂ-espace vectoriel, mais n'est pas une ℂ-algèbre car la multiplication × n'est pas ℂ-bilinéaire : i·(j × k) ≠ j × (i·k).

Voir aussiModifier

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Notes et référencesModifier

  1. N. Bourbaki, Théories spectrales (lire en ligne), chap. 1, p. 1.
  2. a b et c N. Bourbaki, Algèbre, chapitre III, p. 10.
  3. N. Bourbaki, Algèbre, chapitre III, p. 13, proposition 1.