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Le produit tensoriel de deux modules est une construction en théorie des modules qui, à deux modules sur un même anneau commutatif unifère A, assigne un module. Le produit tensoriel est très important dans les domaines de la topologie algébrique et de la géométrie algébrique. Le produit tensoriel permet en outre de ramener l'étude d'applications bilinéaires ou multilinéaires à des applications linéaires.

Introduction - applications bilinéairesModifier

Lorsque M, N et F sont trois A-modules, on appelle application bilinéaire une application f : M × NF, telle que :

  • f est linéaire à gauche, c'est-à-dire que  .
  • f est linéaire à droite, c'est-à-dire que  .

Pour ramener l'étude des applications bilinéaires à celle des applications linéaires, on se propose de définir un module MN et une application bilinéaire   tels que toute application bilinéaire   se factorise de manière unique à droite par  , c'est-à-dire qu'il existe une et une seule application linéaire   telle que  .

On va prouver qu'un tel couple   existe et est unique à unique isomorphisme près.

DéfinitionModifier

Soient M et N deux A-modules. L'espace C = A(M × N) est le A-module des combinaisons linéaires formelles d'éléments de M × N. Un tel espace peut également être défini de manière équivalente comme le A-module des applications de M × N dans A nulles partout sauf sur un nombre fini d'éléments. C est un A-module libre dont   est la base canonique.

On souhaite que les éléments de la forme

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  •  
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soient identifiés comme nuls. On appelle donc D le sous-module de C engendré par les éléments de la forme précédente. On appelle produit tensoriel de M et N, et on note MAN le module quotient C/D. Il est important de préciser l'anneau des scalaires A dans la notation du produit tensoriel. Néanmoins, si la situation est assez claire, on peut se permettre de ne pas trop surcharger les notations. On note   la classe de   dans MAN.

Remarque : dans le module quotient MN, l'image de M×N est un cône.

Cas de deux modules libresModifier

Si les deux A-modules M et N sont libres (par exemple si l'anneau commutatif A est un corps et M, N deux espaces vectoriels sur ce corps) alors leur produit tensoriel est libre : si (mi)i et (nj)j sont des bases respectives de M et N, une base de MAN est (minj)(i,j).

En particulier, le produit tensoriel de deux espaces vectoriels M et N a pour dimension dim(M)×dim(N).

Par exemple, le complexifié (en) d'un espace vectoriel réel E (cas particulier d'extension des scalaires), qui est par définition l'espace vectoriel complexe ℂ⊗E, a, vu comme espace vectoriel réel, une dimension double de celle de E : tout vecteur de ℂ⊗E est somme d'un produit tensoriel de 1 par un vecteur de E et de i par un autre vecteur de E et si (ej)j est une base de E (sur ℝ), alors une base sur ℝ de ℂ⊗E est formée des 1⊗ej et des iej (tandis qu'une base sur ℂ de ℂ⊗E est (1⊗ej)j).

Généralisation à un produit fini de modulesModifier

Ce qui a été fait précédemment se généralise sans peine aux applications multilinéaires. Soit E1, … , En des A-modules. On considère le module produit E = E1×…×En. Une application f : EF est dite n-linéaire si

Quels que soient l'indice i et les n – 1 éléments  , l'application partielle   est linéaire.

Il existe un A-module que l'on note   et une application n-linéaire   de E dans   telle que pour toute application n-linéaire de E dans un module d'arrivée F, il existe une unique application linéaire   telle que  .

En fait, le produit tensoriel de deux modules est associatif au sens suivant : si E, F, G sont trois A-modules, alors les modules (EAF)⊗AG, EA(FAG) et EAFAG sont isomorphes.

Langage des catégoriesModifier

Pour des A-modules E1, … , En fixés, les applications multilinéaires  , où F parcourt les A-modules, sont les objets d'une catégorie, un morphisme de l'objet   vers l'objet   étant une application linéaire h de F dans G telle que  . Dans le langage des catégories, la propriété énoncée ci-dessus de l'application   de   dans  , à savoir que pour toute application n-linéaire de   dans un module d'arrivée F, il existe une unique application linéaire   telle que  , revient à dire que   est un objet initial de la catégorie en question[1], ou encore : que le foncteur covariant qui à tout module F associe le module des applications multilinéaires   est représenté par  .

Par ailleurs, pour un A-module N, fixé, la donnée d'une application bilinéaire de M × N dans F est équivalente à celle d'une application linéaire de M dans le module Hom(N, F) des applications linéaires de N dans F, si bien que le foncteur – ⊗N est adjoint à gauche du foncteur Hom(N, –), c'est-à-dire qu'on a un isomorphisme naturel :

 

Notes et référencesModifier

  1. Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], 3e éd., Paris, Dunod, 2004, p. 618-620.

Articles connexesModifier