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Brouillon

Brouillon 2

Brouillon sur le bruit blanc à insérer

Si l'on considère un processus à temps continue $t\in \mathbb {R} \mapsto X(t)$, il est fréquent de définir le bruit blanc comme un processus stationnaire ergodique gaussien dont la densité spectrale de puissance est constante :

$DSP_{X}(\nu )=K$

Ceci revient à dire que l'autocovariance $R_{X}$ vérifie (avec $\tau =t'-t$) :

$R_{X}(\tau )=cov(X(t),X(t'))=\left({\mathcal {F}}^{-1}DSP_{X}\right)(\tau )=K\cdot \delta (\tau )$

Autrement dit, les variables aléatoires correspondant au signal considéré en deux instants distincts sont décorrélées (et donc indépendantes puisqu'il s'agit de quantités gaussiennes).

Cette façon de voir n'est cependant que partiellement rigoureuse. En effet, comment dés lors interpréter la variance du signal $R_{X}(0)$ ? Intuitivement elle est infinie, ce qui n'est pas possible pour une variable aléatoire gaussienne.

Une façon correcte d'envisager le bruit blanc consiste à étendre la notion de processus aléatoire en définissant les fonctions généralisées aléatoires ou distributions aléatoires (où distribution est à prendre au sens de Schwartz). Dés lors une distribution aléatoire $X$ est un bruit blanc si pour toute fonction test $\phi$, $X(\phi )$ est une variable aléatoire gaussienne de moyenne et de variance données et telle que :

$R_{X}(\phi ',\phi )=cov(X(\phi ),X(\phi '))=K\cdot \delta ({\bar {\phi }}'\star \phi )$

Ce signal vérifie en particulier : si $\phi$ et $\phi '$ sont de support disjoint, $X(\phi )$ et $X(\phi ')$ sont indépendantes.

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