Tenseur de Killing-Yano

En géométrie riemannienne, un tenseur de Killing-Yano est une généralisation du concept de vecteur de Killing à un tenseur de dimension supérieure. Ils ont été introduits en 1952 par Kentaro Yano[1]. Un tenseur antisymétrique d'ordre p est dit de Killing-Yano lorsqu'il vérifie l'équation

.

Cette équation diffère de la généralisation usuelle du concept de vecteur de Killing à des tenseurs d'ordre plus élevé, appelés tenseurs de Killing par ce que la dérivée covariante D est symétrisée avec un seul indice du tenseur et non la totalité de ceux-ci, comme c'est le cas pour les tenseurs de Killing.

Tenseurs de Killing-Yano triviauxModifier

Tout vecteur de Killing est un tenseur de Killing d'ordre 1 et un tenseur de Killing-Yano.

Le tenseur complètement antisymétrique (dit de Levi-Civita)  , où n est la dimension de la variété est un tenseur de Killing-Yano, sa dérivée covariante étant toujours nulle (voir Nullité de la dérivée covariante du tenseur dualiseur).

Construction de tenseurs de Killing à partir de tenseurs de Killing-YanoModifier

Il existe plusieurs façons de construire des tenseurs de Killing (symétriques) à partir de tenseurs de Killing-Yano.

Tout d'abord, deux tenseurs de Killing triviaux peuvent être obtenus à partir de tenseurs de Killing-Yano :

  • À partir d'un tenseur de Killing-Yano d'ordre 1  , on peut construire un tenseur de Killing   d'ordre de 2 selon
 .
  • À partir du tenseur complètement antisymétrique  , on peut construire le tenseur de Killing trivial
 .

De façon plus intéressante, à partir de deux tenseurs de Killing-Yano d'ordre 2   et  , on peut construire le tenseur de Killing d'ordre 2   selon

 .

À partir d'un tenseur de Killing-Yano d'ordre n-1,  , on peut construire le vecteur associé au sens de Hodge (voir Dualité de Hodge),

 .

Du fait que le tenseur   est de Killing-Yano, le vecteur A n'est pas de Killing-Yano, mais obéit à l'équation

 .

Cette propriété permet de construit un tenseur de Killing   à partir de deux tels vecteurs, défini par :

 .

Toute combinaison linéraire de tenseurs de Killing-Yano est également un tenseur de Killing-Yano.

PropriétésModifier

Un certain nombre de propriétés des espaces-temps quadridimensionnels impliquant les tenseurs de Killing-Yano ont été exhibées par C. D. Collinson et H. Stephani dans le courant des années 1970[2],[3],[4].

  • Si un espace-temps admet un tenseur de Killing-Yano non dégénéré, alors celui-ci peut s'écrire sous la forme
 ,
k, l, m et   forment une tétrade et les fonctions X et Y obéisent à un certain nombre d'équations différentielles. De plus, le tenseur de Killing-Yano obéit à la relation suivante avec le tenseur de Ricci[3],[4] :
 .
  • Les solutions aux équations d'Einstein dans le vide et de type D dans la classification de Petrov admettent un tenseur de Killing et un tenseur de Killing-Yano, tous deux d'ordre 2 et reliés par la formule donnée ci-dessus[3],[4].
  • Si un espace-temps admet un tenseur de Killing-Yano d'ordre 2 dégénéré  , alors celui-ci s'écrit sous la forme
 ,
k étant un vecteur de Killing de genre lumière. Le tenseur de Weyl est dans ce cas de type N dans la classification de Petrov, et k est son vecteur propre non trivial. De plus, a possède la relation donnée ci-dessus avec le tenseur de Riemann[2],[4]
  • Si un espace-temps admet un tenseur de Killing-Yano d'ordre 3, alors soit le vecteur associé par dualité de Hodge est un vecteur de genre lumière constant, soit l'espace est conformément plat[2],[4].

Voir aussiModifier

RéférenceModifier

  • (en) D. Kramer, Hans Stephani, Malcolm Mac Callum et E. Herlt, Exact solutions of Einstein’s field equations, Cambridge, Cambridge University Press, , 428 p. (ISBN 0521230411), pages 349 à 352.

NoteModifier

  1. (en) Kentaro Yano, Annals of Mathematics, 55, 328 (1952).
  2. a b et c (en) C. D. Collinson, The existence of Killing tensors in empty spacetimes, Tensors, 28, 173 (1974).
  3. a b et c (en) C. D. Collinson, On the relationship between Killing tensors and Killing-Yano tensors, International Journal of Theoretical Physics, 15, 311 (1976).
  4. a b c d et e (en) H. Stephani, A note on Killing tensors, General Relativity and Gravitation, 9, 789 (1978).