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Base (algèbre linéaire)

Famille de vecteurs libre et génératrice d'un espace vectoriel. Tout vecteur de cet espace est alors une combinaison linéaire unique des vecteurs de la base de l'espace

Introduction géométriqueModifier

 
 .

La géométrie plane, celle d'Euclide, peut comporter une approche algébrique, celle de Descartes. En utilisant les coordonnées cartésiennes, on peut identifier un vecteur du plan à un couple de réels. Par exemple, la figure montre comment placer le vecteur  . On se sert alors des deux vecteurs de référence (dessinés en bleu et rouge) pour le dessiner. Ainsi, tous les vecteurs du plan peuvent être exprimés de manière unique en termes de nombres vis-à-vis de deux vecteurs de référence. Ces deux vecteurs sont appelés base canonique du plan. En les notant respectivement   et  , un vecteur quelconque   du plan s'exprime comme combinaison linéaire de ces deux vecteurs :

 

  et   sont des nombres réels. Par exemple,

 .

Cette écriture permet d'effectuer des calculs simplement. Par exemple, on peut additionner deux vecteurs   et   (où  ,  ,   et   sont des réels) de la façon suivante :

 .

Cette addition a une signification géométrique. Ainsi, il existe des connexions entre géométrie et calcul algébrique.

 
Le couple de vecteurs   est une base du plan.

Cette base n'est pas unique. En fait, n'importe quel couple de vecteurs du plan choisi au hasard forme une base, à condition que les deux vecteurs ne soient pas colinéaires (c'est-à-dire qu'il s'agit d'une famille libre). Les deux vecteurs peuvent alors être utilisés pour exprimer tous les autres vecteurs (c'est-à-dire qu'il s'agit d'une famille génératrice). La décomposition selon ces deux vecteurs est alors unique. La figure ci-contre montre une autre base du plan. Travailler dans d'autres bases que la base canonique permet de simplifier grandement les calculs, si la base choisie est adaptée au problème.

Cette notion de base se généralise à toute structure vectorielle. Cela offre les mêmes avantages que pour les bases du plan, à savoir un cadre simple dans lequel tout vecteur possède une unique écriture, qui facilite les calculs dans cette structure.

Définitions formellesModifier

Soit   un espace vectoriel sur un corps commutatif  .

Famille libreModifier

Article détaillé : Famille libre.

Une famille finie   de vecteurs de E est dite libre si :

 .

Dans le cas contraire, elle est dite liée.

Plus généralement, si   est une famille (éventuellement infinie) de vecteurs de E, cette famille est dite libre si toutes ses sous-familles finies sont libres.

Famille génératriceModifier

Article détaillé : Famille génératrice.

Une famille   finie de vecteurs de   est dite génératrice de   si tout vecteur de   est une combinaison linéaire des vecteurs de cette famille :

 .

Plus généralement, si   est une famille (éventuellement infinie) de vecteurs de  , cette famille est dite génératrice de   si tout vecteur de   est une combinaison linéaire d'une partie finie de la famille  .

Définition d'une baseModifier

Une famille de vecteurs de E est une base de E si c'est une famille à la fois génératrice de E et libre[2]. De façon équivalente, une famille est une base de l'espace vectoriel E quand tout vecteur de l'espace se décompose de façon unique en une combinaison linéaire de vecteurs de cette base.

On précise cette dernière caractérisation. Une famille finie   est une base de   si et seulement si :

 .

Plus généralement, si   est une famille (éventuellement infinie) de vecteurs de  , cette famille est une base de   si, pour tout vecteur   de  , il existe une unique famille   de scalaires qui est nulle sauf en un nombre fini d'indices et telle que :

 .

Les scalaires   sont appelés coordonnées du vecteur   dans la base  .

DimensionModifier

Article détaillé : Dimension d'un espace vectoriel.

Qu'elles soient finies ou non, toutes les bases d'un espace vectoriel E ont la même cardinalité, appelée la dimension de E. En particulier, si E admet une famille génératrice finie, toute base de E est finie, et la dimension de E est le nombre de vecteurs qu'elle comprend. Ce résultat, qui justifie la définition de la dimension, porte des noms différents selon les auteurs : théorème de la dimension, théorème d'équicardinalité des bases, etc.

Toute famille libre de E a alors un cardinal inférieur ou égal à dim(E), et toute famille génératrice de cet espace a un cardinal supérieur ou égal à dim(E).

Par exemple, Kn est de dimension n car sa base canonique possède exactement n vecteurs.

Les solutions à l'équation différentielle linéaire d'ordre deux   forment un espace vectoriel réel de dimension 2 : ce résultat s'appuie sur le théorème de Cauchy-Lipschitz.

ExemplesModifier

  • Le ℝ-espace vectoriel ℝn admet une base C particulière, appelée base canonique, définie par .La dimension de ℝn est donc n.
  • L'espace vectoriel Mn,p(K) des matrices de taille n×p à coefficients dans un corps K admet pour base l'ensemble formé des matrices élémentaires de Mn,p(K), c'est-à-dire des matrices ayant un coefficient égal à 1 et tous les autres nuls. La dimension de Mn,p(K) est donc np.
  • L'espace vectoriel des polynômes sur un corps K admet pour base {Xk | k ∈ ℕ} (plus généralement, toute famille de polynômes étagée en degré convient, par exemple si K = ℝ : une suite de polynômes orthogonaux). La dimension de K[X] est donc l'infini dénombrable.

ExistenceModifier

Article détaillé : Théorème de la base incomplète.

Tout espace vectoriel admet une base d'après le théorème suivant[3],[4] :

Théorème de la base incomplète — Soient E un espace vectoriel, G une partie génératrice de E et L une partie libre. Alors il existe FG\L tel que LF soit une base de E.

Autrement dit, toute famille libre de E peut toujours être « complétée » pour obtenir une base de E en choisissant des vecteurs parmi une famille génératrice arbitrairement prescrite. En particulier, la famille vide peut être complétée en une base de E.

Ce théorème prouve également qu'une famille de vecteurs est une base (i.e. libre et génératrice) si et seulement si elle est libre maximale ou encore (c'est équivalent) génératrice minimale.

L'existence d'une base est équivalente, en théorie des ensembles ZF avec axiome de fondation[5], à l'axiome du choix. En particulier, la démonstration du théorème de la base incomplète repose sur le lemme de Zorn. Cependant, l'existence d'une famille génératrice finie permet de démontrer l'existence d'une base sans invoquer l'axiome du choix.

Changement de baseModifier

Article détaillé : Matrice de passage.

Il n'y a pas a priori d'unicité d'une base dans un espace vectoriel. Il peut donc être naturel de vouloir passer de l'expression d'un vecteur dans une base donnée à celle dans une autre base, par exemple pour faciliter les calculs.

Soit E un espace vectoriel sur un corps K. On suppose que   et   sont deux bases de cet espace. Les   sont en particulier des vecteurs de E, donc s'expriment comme combinaisons linéaires des vecteurs de la base  . On peut donc en déduire, par substitution, les nouvelles expressions des vecteurs.

Par exemple, dans le ℝ-espace vectoriel ℝ2, on a la base canonique  . Il est facile de vérifier que les vecteurs   et   forment une base de ℝ2. On peut exprimer ces nouveaux vecteurs par

 .

Et en résolvant le système d'équations, on obtient

 .

Pour un vecteur   de ℝ2 (avec   et   des réels), on peut donc l'exprimer en fonction de la nouvelle base :

 .

Application linéaireModifier

Article détaillé : Application linéaire.

Une application linéaire φ d'un espace vectoriel E vers un espace vectoriel F est entièrement déterminée par l'image par φ d'une base de E. Plus précisément : soit   une base de E ; pour toute famille   de vecteurs de F (indexée par le même ensemble  ), il existe une unique application linéaire   telle que  . De plus, φ est bijective si et seulement si   est une base de F. Cette propriété fournit donc un isomorphisme entre deux K-espaces vectoriels de même dimension (en particulier : un isomorphisme entre E et Kn, si E est de dimension finie n).

En dimension finie, cette propriété permet également d'utiliser des matrices comme représentants des applications linéaires de E dans F, étant données une base e de E et une base f de F. Si F = E, la matrice de l'application identité est appelée la matrice de passage, ou matrice de changement de base, de f (l'« ancienne base ») à e (la « nouvelle base »)[6].

Base d'un espace dualModifier

Article détaillé : base duale.

Soit   un  -espace vectoriel. L'ensemble des formes linéaires sur   forment un  -espace vectoriel appelé espace dual de   noté  . Si   est de dimension finie, alors   est aussi de dimension finie et sa dimension est égale à celle de  . Ils sont donc isomorphes.

Si   est une base de  , on définit sur celle-ci les formes linéaires notées   par :

 

  est le symbole de Kronecker.

La famille de formes linéaires   est une base de  , appelée base duale de la base  .

Inversement, si   est une base de  , il existe une unique base   de   telle que :

 .

La base   s'appelle la base antéduale de la base  .

Généralisation de la notion de baseModifier

Lorsque l'espace vectoriel étudié dispose d'une structure plus riche, un raffinement de la notion de base est possible.

Base orthonormaleModifier

Article détaillé : Base orthonormale.

Dans le cas d'un espace euclidien, une base est dite orthonormale (ou orthonormée) si les vecteurs de cette base sont deux à deux orthogonaux et sont de norme égale à 1.

Par exemple, la base canonique de   est orthonormale pour le produit scalaire usuel.

Base de HilbertModifier

Article détaillé : Base de Hilbert.

Dans un espace préhilbertien de dimension infinie, une famille finie de vecteurs orthogonaux deux à deux ne peut pas engendrer tout l'espace.

Soit   un espace préhilbertien sur un corps   et   une famille de vecteurs de  , où l'ensemble   des indices est fini ou infini.

La famille   est une base de Hilbert de   si

  •   est une famille orthonormée de   et
  •   est « génératrice », au sens élargi suivant : .

Dans le cas où   est de dimension finie, cette définition coïncide avec celle de base orthonormée.

Base de SchauderModifier

Article détaillé : Base de Schauder.

Dans le cas où E est un espace de Banach séparable de dimension infinie, on peut généraliser la notion de base dans le sens suivant : on dit que la suite   de vecteurs de E est une base de Schauder de E si, pour tout  , il existe une unique suite   de scalaires telle que

 ,

avec convergence en norme dans E. Les scalaires   sont appelés coordonnées de  .

Une base de Hilbert (séparable) est une base de Schauder. Dans le cas où E est de dimension finie, les notions de base (algébrique) et base de Schauder coïncident.

Base d'un moduleModifier

Article détaillé : Module sur un anneau.

Un module est une structure algébrique identique à celle d'espace vectoriel à la différence près que l'ensemble des scalaires ne forme plus un corps mais un anneau.

Certaines propriétés vraies pour les espaces vectoriels ne sont plus vraies pour les modules. Par exemple l'existence d'une base n'y est plus assurée, et on ne peut pas nécessairement y développer de théorie de la dimension, même dans un module engendré par un nombre fini d'éléments.

Cependant, on peut quand même définir une notion de base, identique à celle des espaces vectoriels. Un module qui possède une base s'appelle un module libre.

RéférencesModifier

  1. (en) Eric W. Weisstein, « Vector Basis », sur MathWorld.
  2. (en) Serge Lang, Algebra [détail des éditions], 1965, p. 84.
  3. N. Bourbaki, Algèbre, p. A-II-95, Théorème 2.
  4. Lang 1965, p. 85, Theorem 2.
  5. (en) Andreas Blass (en), « Existence of bases implies the axiom of choice », dans J. E. Baumgartner, D. A. Martin et S. Shelah, Axiomatic Set Theory, coll. « Contemp. Math. » (no 31), , p. 31-34.
  6. Daniel Guinin et Bernard Joppin, Algèbre et géométrie PCSI, Bréal, (lire en ligne), p. 356.