Lemme des noyaux

notion d'algèbre linéaire

En algèbre linéaire, le lemme des noyaux, aussi appelé théorème de décomposition des noyaux, est un résultat sur la réduction des endomorphismes. Dans un espace vectoriel E sur un corps commutatif K, si un opérateur u de E est annulé par un polynôme P(X) à coefficients dans K, alors ce lemme prévoit une décomposition de E comme somme directe de sous-espaces vectoriels stables par u. Ces derniers se définissent comme noyaux de polynômes en u et les projecteurs associés sont eux-mêmes des polynômes en u.

La démonstration traduit l'identité de Bézout portant sur les polynômes à des sous-espaces vectoriels. Résultat fondamental, le lemme des noyaux conduit à la décomposition de Dunford puis à la décomposition de Jordan. Plus modestement, le lemme des noyaux montre qu'un opérateur u est diagonalisable si et seulement s'il est annulé par un polynôme scindé à racines simples.

ÉnoncéModifier

Lemme des noyaux[1] — Soient E un espace vectoriel sur un corps commutatif K et f un endomorphisme de E. Si   (avec n entier strictement positif) sont premiers entre eux deux à deux, alors les sous-espaces vectoriels   (où 1 ≤ i ≤ n) sont en somme directe et

 

De plus, la projection de la somme directe   sur   parallèlement à   est la restriction à   d'un polynôme en  .

ApplicationsModifier

Le lemme des noyaux sert pour la réduction des endomorphismes. Par exemple :

Réduction à une forme diagonale par blocs — Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K, f un endomorphisme de E et   un polynôme annulateur de f (par exemple son polynôme minimal, ou son polynôme caractéristique d'après le théorème de Cayley-Hamilton) et   la factorisation de P avec les polynômes Pi irréductibles et distincts. Alors il existe une base B de E et des matrices   telles que

 

  (en fait la partie de B correspondant au bloc   est une base de  ), et  .

NoteModifier