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Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Projecteur et Projection.

En algèbre linéaire, un projecteur (ou une projection) est une application linéaire qu'on peut présenter de deux façons équivalentes :

  • une projection linéaire associée à une décomposition de E comme somme de deux sous-espaces supplémentaires, c'est-à-dire qu'elle permet d'obtenir un des termes de la décomposition correspondante ;
  • une application linéaire idempotente : elle vérifie p2 = p.

Dans un espace hilbertien ou même seulement préhilbertien, une projection pour laquelle les deux supplémentaires sont orthogonaux est appelée projection orthogonale.

Sommaire

Définition de la projection vectorielleModifier

Soient F un sous-espace vectoriel de E et G un supplémentaire de F dans E. N'importe quel vecteur x de E peut s'écrire d'une façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G :  . La projection sur F parallèlement à G est alors l'application[1] :

 

PropriétésModifier

Définie comme telle, l'application p est un endomorphisme, idempotent (pp = p), d'image im(p) = F et de noyau ker(p) = G. Cet endomorphisme est diagonalisable.

Identification des projecteurs et des projectionsModifier

On définit l'ensemble des projecteurs de E comme les endomorphismes p de E vérifiant p2 = p. On vient de voir que toute projection est un projecteur. Réciproquement :

Théorème de caractérisation des projecteurs[2] — Tout projecteur de E est une projection, précisément la projection sur im(p) parallèlement à ker(p), ces deux sous-espaces étant alors supplémentaires.

Projecteur associé à un autre projecteurModifier

La projection sur G parallèlement à F est l'application q = idp, appelée aussi projecteur « associé » à p.

L'image de q est alors le noyau de p, l'image de p est le noyau de q. Autrement dit : ker(p) = im(id – p) et im(p) = ker(id – p).

Projecteurs de même imageModifier

Deux endomorphismes p et r d'un même espace vectoriel sont des projecteurs de même image si et seulement si pr = r et rp = p.

Projecteurs associés à une famille d'espaces supplémentairesModifier

Un espace vectoriel E est somme directe de sous-espaces vectoriels   si et seulement s'il existe une famille de projecteurs   (pour  ) vérifiant :   et   si ij.

SymétriesModifier

Une symétrie vectorielle est un endomorphisme s tel que s2 est l'identité (ne pas confondre avec « Endomorphisme symétrique »).

  • p est un projecteur si et seulement si 2p – id est une symétrie vectorielle.

La recherche des endomorphismes tels que p2 = p, ou que s2 = id effectuée ici est un cas particulier simple du traitement de l'équation P(u) = 0 pour P polynôme et u endomorphisme ; voir l'article « Polynôme d'endomorphisme » pour des généralisations.

Projecteurs orthogonauxModifier

Dans un espace quadratique, en particulier dans un espace préhilbertien, un projecteur est un endomorphisme symétrique si et seulement si  . On a alors un projecteur orthogonal, ou une projection orthogonale.

Représentation matricielle en base adaptéeModifier

Tout projecteur d'un espace de dimension finie est diagonalisable, avec comme seules valeurs propres 1 et 0 (s'il n'est ni nul, ni l'identité).

En effet, si l'on note   une base de E avec   des vecteurs de im(p) et   des vecteurs de ker(p) (ce qui est possible, car l'image et le noyau de p sont supplémentaires), alors la matrice de p dans cette base adaptée s'écrit :

 

On a donc les propriétés suivantes :

  • sur la diagonale apparaissent uniquement des 1 et des 0, et le nombre de 1 est égal au rang du projecteur ;
  • les autres coefficients sont nuls.

Notes et référencesModifier

  1. Jean-Pierre Marco et Laurent Lazzarini, Mathématiques L1 : Cours complet avec 1 000 tests et exercices corrigés, Pearson, (ISBN 978-2-74407607-7, lire en ligne), p. 451.
  2. La démonstration est courte : voir par exemple « Projecteurs » sur la Wikiversité.