Projecteur (mathématiques)

En algèbre linéaire, un projecteur (ou une projection) est une application linéaire qu'on peut présenter de deux façons équivalentes :

  • une projection linéaire associée à une décomposition de E comme somme de deux sous-espaces supplémentaires, c'est-à-dire qu'elle permet d'obtenir un des termes de la décomposition correspondante ;
  • une application linéaire idempotente : elle vérifie p2 = p.

Dans un espace hilbertien ou même seulement préhilbertien, une projection pour laquelle les deux supplémentaires sont orthogonaux est appelée projection orthogonale.

Définition de la projection vectorielleModifier

Soient F un sous-espace vectoriel de E et G un supplémentaire de F dans E. N'importe quel vecteur x de E peut s'écrire d'une façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G :  . La projection sur F parallèlement à G est alors l'application[1] :

 

PropriétésModifier

Définie comme telle, l'application p est un endomorphisme, idempotent (pp = p), d'image im(p) = F et de noyau ker(p) = G. Cet endomorphisme est diagonalisable.

Identification des projecteurs et des projectionsModifier

On définit l'ensemble des projecteurs de E comme les endomorphismes p de E vérifiant p2 = p. On vient de voir que toute projection est un projecteur. Réciproquement :

Théorème de caractérisation des projecteurs[2] — Tout projecteur de E est une projection, précisément la projection sur im(p) parallèlement à ker(p), ces deux sous-espaces étant alors supplémentaires.

Projecteur associé à un autre projecteurModifier

La projection sur G parallèlement à F est l'application q = idp, appelée aussi projecteur « associé » à p.

L'image de q est alors le noyau de p, l'image de p est le noyau de q. Autrement dit : ker(p) = im(id – p) et im(p) = ker(id – p).

Projecteurs de même imageModifier

Deux endomorphismes p et r d'un même espace vectoriel sont des projecteurs de même image si et seulement si pr = r et rp = p.

Projecteurs associés à une famille d'espaces supplémentairesModifier

Un espace vectoriel E est somme directe de sous-espaces vectoriels   si et seulement s'il existe une famille de projecteurs   (pour  ) vérifiant :   et   si ij.

SymétriesModifier

Une symétrie vectorielle est un endomorphisme s tel que s2 est l'identité (ne pas confondre avec « Endomorphisme symétrique »).

  • p est un projecteur si et seulement si 2p – id est une symétrie vectorielle.

La recherche des endomorphismes tels que p2 = p, ou que s2 = id effectuée ici est un cas particulier simple du traitement de l'équation P(u) = 0 pour P polynôme et u endomorphisme ; voir l'article « Polynôme d'endomorphisme » pour des généralisations.

Projecteurs orthogonauxModifier

Dans un espace quadratique, en particulier dans un espace préhilbertien, un projecteur est un endomorphisme symétrique si et seulement si  . On a alors un projecteur orthogonal, ou une projection orthogonale.

Représentation matricielle en base adaptéeModifier

Tout projecteur d'un espace de dimension finie est diagonalisable, avec comme seules valeurs propres 1 et 0 (s'il n'est ni nul, ni l'identité).

En effet, si l'on note   une base de E avec   des vecteurs de im(p) et   des vecteurs de ker(p) (ce qui est possible, car l'image et le noyau de p sont supplémentaires), alors la matrice de p dans cette base adaptée s'écrit :

 

On a donc les propriétés suivantes :

  • sur la diagonale apparaissent uniquement des 1 et des 0, et le nombre de 1 est égal au rang du projecteur ;
  • les autres coefficients sont nuls.

Notes et référencesModifier

  1. Jean-Pierre Marco et Laurent Lazzarini, Mathématiques L1 : Cours complet avec 1 000 tests et exercices corrigés, Paris, Pearson, , 1073 p. (ISBN 978-2-7440-7607-7, lire en ligne), p. 451.
  2. La démonstration est courte : voir par exemple « Projecteurs » sur Wikiversité.