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Hermitien

Différentes entités mathématiques qualifiées d'hermitiennes

Produit scalaire hermitien et espace hermitienModifier

Soit E un espace vectoriel complexe. On dit qu'une application f définie sur E x E dans C est une forme sesquilinéaire à gauche si

Quels que soient les vecteurs X, Y, Z appartenant à E, et a, b des scalaires :

  • f est semi-linéaire par rapport à la première variable

 , et

  • f est linéaire par rapport à la deuxième variable

 .

Une telle forme est dite hermitienne (ou à symétrie hermitienne) si de plus :   ou, ce qui est équivalent :  

Elle est dite hermitienne définie positive si   pour tout vecteur  .

Un produit scalaire hermitien est une forme hermitienne définie positive.

On appelle espace hermitien tout espace vectoriel E complexe de dimension finie muni d'un produit scalaire hermitien.

Les deux exemples de base d'espaces munis de formes hermitiennes sont  , avec

 

et   pour un intervalle  , avec

 

(On considère des fonctions à valeurs complexes : en théorie des séries de Fourier, il est plus commode de travailler avec les exponentielles complexes ( ) qu'avec les fonctions réelles sinus et cosinus, ce qui explique l'intervention de la notion de forme hermitienne dans la décomposition spectrale de Fourier.)

Les deux propriétés de base d'un produit scalaire réel subsistent :

Opérateur hermitienModifier

Article détaillé : Endomorphisme autoadjoint.

Un opérateur u d'un espace hermitien E est dit hermitien si :

 

Les opérateurs hermitiens jouent un rôle important en mécanique quantique, car ils représentent les grandeurs physiques. Les valeurs propres (réelles) représentent les valeurs possibles de la grandeur et les fonctions propres (ou vecteurs) les états associés.

Dans une base orthonormale, la matrice d'un tel opérateur est égale à la transposée de sa conjuguée, on dit que la matrice est hermitienne (ou auto-adjointe). Notons :  . Alors si  , A est la matrice d'un opérateur hermitien.

Matrice hermitienneModifier

Une matrice hermitienne (ou auto-adjointe) est une matrice carrée avec des éléments complexes qui vérifie la propriété suivante :

Toute matrice hermitienne est diagonalisable à l'aide d'une matrice de passage unitaire, car ses valeurs propres sont réelles et ses sous-espaces propres sont deux à deux orthogonaux. Numériquement, le procédé de diagonalisation s'applique à toute matrice hermitienne   et il consiste à la décomposer sous la forme

 

  est une matrice unitaire (dont les colonnes sont les vecteurs propres de  ) et où   est une matrice diagonale dont les coefficients sont précisément les valeurs propres de  . (C'est un cas particulier du théorème de décomposition de Schur.)

Exemple
  est une matrice hermitienne :
  et  

En particulier, une matrice à éléments réels est hermitienne si et seulement si elle est symétrique.

Une matrice carrée complexe A de taille n est hermitienne si et seulement si, pour tous vecteurs colonnes x et y de taille n, le nombre y*Ax est égal à y*A*x, c'est-à-dire au conjugué de x*Ay, autrement dit si la forme sesquilinéaire   est hermitienne (cf. § ci-dessus). D'après la caractérisation des formes hermitiennes, ceci équivaut à : pour tout vecteur colonne x, le nombre x*Ax est réel.

Polynômes d'HermiteModifier

Article détaillé : Polynômes d'Hermite.

Les polynômes orthogonaux d'Hermite interviennent dans la théorie de l'approximation uniforme des fonctions. En physique, on les retrouve dans la résolution de l'équation de la chaleur, mais aussi en mécanique quantique où ils donnent les fonctions d'ondes de l'oscillateur harmonique.

La suite des polynômes d'Hermite, notés  , est orthogonale pour le produit scalaire défini par :

 .

Ces polynômes sont définis de telle manière que   soit de degré n, le premier d'entre eux étant  .

Cette suite satisfait les relations suivantes :

  •  
  •  
  •  
  •  

Constantes d'HermiteModifier

Article détaillé : Constante d'Hermite.

L'empilement d'hypersphères le plus dense, en dimension n, donne des structures se rapprochant des n-simplexes (c'est-à-dire triangle, tétraèdre, etc. mais aussi hexagone ou cuboctaèdre). Ces n-simplexes peuvent être entre autres caractérisés par un n-hypervolume ou des nombres : ainsi, les nombres triangulaires sont de la forme a(a+1)/2, les nombres tétraédriques : a(a+1)(a+2)/6, etc. la limite du rapport "nombre" sur l'hypervolume, pour a tendant vers +∞, élevée à la puissance 2/n, donne les constantes d'Hermite. Cette définition n'est cependant pas rigoureuse.

Lien externeModifier