Algèbre extérieure

terme mathématique

En mathématiques, et plus précisément en algèbre et en analyse vectorielle, l'algèbre extérieure d'un espace vectoriel E est une algèbre associative graduée, notée . La multiplication entre deux éléments a et b est appelée le produit extérieur et est notée . Le carré de tout élément de E est zéro (), on dit que la multiplication est alternée, ce qui entraîne que pour deux éléments de E : (la loi est « anti-commutative »).

L'algèbre extérieure est aussi appelée algèbre de Grassmann nommée ainsi en l'honneur de Hermann Grassmann. Vers 1846, ce dernier a écrit un traité sur les « grandeurs extensives », précurseurs des multivecteurs.

ApplicationsModifier

L'algèbre extérieure est utilisée en mathématiques dans la théorie des déterminants qui permettent de calculer les volumes et les surfaces. L'algèbre extérieure permet en particulier de définir les formes différentielles sur une variété et les champs de multivecteurs. Les formes différentielles sont particulièrement utiles en topologie algébrique et surtout en géométrie différentielle et en physique mathématique. En géométrie algébrique, l'algèbre extérieure intervient dans l'étude des faisceaux localement libres. Ces applications sont à peine abordées dans cet article qui se veut avant tout introductif.

DéfinitionModifier

Par générateurs et relationsModifier

Dans un premier temps, on peut se contenter d'une description par générateurs et relations. On introduit un symbole  . Les   désignant des éléments de E, on considère l'espace vectoriel engendré par les éléments notés   sur le même corps que celui de E. Les relations sont les axiomes qui font de   un produit, avec la relation supplémentaire   pour tout x de E.

On en déduit alors que :  .

Construction formelle à partir de l'algèbre tensorielleModifier

L'algèbre ΛE est l'algèbre graduée associative la plus générale contenant E, avec un produit ayant la propriété d'alternance. Il est naturel de voir dans ce problème une variante de l'introduction de l'algèbre tensorielle T(E), et d'obtenir la propriété d'alternance par un quotient adapté.

Soit I l'idéal bilatère de T(E) engendré par les éléments de la forme vv pour v appartenant E (cet idéal contient les éléments de la forme vw + wv pour v et w appartenant à E). L'algèbre ΛE est définie comme le quotient T(E)/I[1].

Interprétation géométrique des k-vecteursModifier

On peut donner une interprétation géométrique des k-vecteurs : le 2-vecteur   représente l'ensemble des parallélogrammes orientés, contenu dans le même plan que celui de côtés u et v, et ayant même aire et même orientation que ce dernier. Le 3-vecteur   représente l'ensemble des parallélépipèdes orientés, contenu dans le même espace de dimension 3 que le parallélépipède de côtés u, v, et w, et ayant même volume et même orientation que ce dernier[2], etc.

NotationsModifier

Les éléments de la forme   avec v1, …, vk dans E sont appelés k-vecteurs. Le sous-espace de ΛE engendré par tous les k-vecteurs porte le nom de k-ème puissance extérieure de E et se note  . Les éléments de cet espace sont souvent appelés, au moins en géométrie, des k-multivecteurs, ou plus simplement bivecteurs pour k = 2. Les k-multivecteurs sont donc des combinaisons de k-vecteurs, pas forcément des k-vecteurs.

Les éléments de   sont exactement ceux de degré k de l'algèbre graduée  . En particulier,   et  .

L'espace vectoriel   est la somme directe des puissances extérieures successives  k décrit N :

 

L'indice k forme un degré compatible avec le produit extérieur : le produit d'un k-vecteur et d'un l-vecteur est un vecteur de degré inférieur à k + l. Ainsi l'algèbre extérieure a une structure d'algèbre graduée.

L'algèbre   possède la propriété universelle suivante : pour toute application k-multilinéaire alternée f de   dans un espace vectoriel F, il existe une unique application linéaire   telle que[1] :

 .

Base et dimensionModifier

Si E est de dimension n et de base (e1, …, en), alors il est possible de donner une base de la k-ième puissance extérieure ΛkE, sous la forme

 

En effet, c'est un résultat général de décomposition pour les applications multilinéaires alternées. Chacune des composantes du k-vecteur sur cette base est un mineur de la matrice dont les colonnes sont les composantes des vecteurs vj sur la base ei.

La dimension de ΛkE est le coefficient binomial  [3]. Notamment, ΛkE = {0} pour k > n.

L'algèbre extérieure est donc l'algèbre graduée égale à la somme directe

 

(dans laquelle Λ0E = K et Λ1E = E), et sa dimension est donc 2n.

Algèbre extérieure d'un module de type finiModifier

Pour tout module   sur un anneau commutatif unitaire  , on construit de la même façon que pour les espaces vectoriels une  -algèbre unitaire graduée  .

Si   est engendré par   éléments, alors   pour tout  .

Si de plus   est libre de rang  , alors   est libre pour tout  ,   est libre de rang 1 et est appelé le déterminant de  .

BibliographieModifier

  • Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématique, Livre II, Algèbre, Chapitres 1 à 3, Hermann, (réimpr. 2007), 636 p. (ISBN 978-3-540-33849-9)
    L'algèbre extérieure est étudiée dans le chapitre III : Algèbres tensorielles, extérieures et symétriques.
  • Serge Lang, Algebra, Addison-Wesley Publishing Company,

RéférencesModifier

  1. a et b (Lang, p. 424)
  2. M. Khosravi et M. D. Taylor, « The Wedge Product and Analytic Geometry », The American Mathematical Monthly, vol. 115, no 7,‎ , p. 623-644 (DOI 10.1080/00029890.2008.11920573)
  3. (Lang, p. 426)