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Application multilinéaire

Application à plusieurs variables vectorielles qui est linéaire en chacune de ses variables

En algèbre linéaire, une application multilinéaire est une application à plusieurs variables vectorielles et à valeurs vectorielles qui est linéaire en chaque variable. Une application multilinéaire à valeurs scalaires est appelée forme multilinéaire. Une application multilinéaire à deux variables vectorielles est dite bilinéaire.

Quelques exemples classiques :

L'étude systématique des applications multilinéaires permet d'obtenir une définition générale du déterminant, du produit extérieur et de nombreux autres outils ayant un contenu géométrique. La branche de l'algèbre correspondante est l'algèbre multilinéaire. Mais il y a également de très nombreuses applications dans le cadre des variétés, en topologie différentielle.

DéfinitionModifier

Soient un entier k > 0 et des espaces vectoriels   sur un même corps K. Une application

 

est dite multilinéaire (ou plus précisément : k-linéaire) si elle est linéaire en chaque variable, c'est-à-dire si, pour des vecteurs   et des scalaires a et b,

 

De façon informelle, on peut se représenter une application k-linéaire comme une application produit de k termes, avec une propriété de type distributivité.

L'ensemble des applications k-linéaires de   dans F est un sous-espace vectoriel de l'espace FE1×…×En de toutes les applications de E1×…×En dans F. C'est donc un espace vectoriel, que l'on note  , ou plus simplement   lorsque  . L'espace   des formes k-linéaires sur E est noté  .

Si k = 1, on retrouve l'espace   des applications linéaires de E dans F. En revanche si k > 1, il ne faut pas confondre l'espace d'applications multilinéaires   avec l'espace   des applications linéaires sur l'espace vectoriel produit  . Par exemple, de K×K dans K, la multiplication   est bilinéaire mais pas linéaire, tandis que la projection   est linéaire mais pas bilinéaire.

Écriture en composantesModifier

Si   (finies ou pas) sont des bases respectives des espaces  , l'application (linéaire) de restriction

 

est bijective (donc est un isomorphisme d'espaces vectoriels), c'est-à-dire qu'une application k-linéaire est entièrement déterminée par ses valeurs sur les k-uplets de vecteurs des bases, et que ces valeurs peuvent être des vecteurs quelconques de F.

Plus concrètement, et en supposant pour simplifier les notations que

 

on peut décomposer chaque vecteur

 

Alors l'expression d'une forme k-linéaire sur le k-uplet   devient

 

La connaissance des   valeurs   détermine entièrement l'application k-linéaire f.

En particulier, l'espace   des formes k-linéaires sur un espace vectoriel E de dimension n a pour dimension  .

Symétrie et antisymétrieModifier

Une application   est dite

  • symétrique si l'échange de deux vecteurs ne modifie pas le résultat :
  ;
  • antisymétrique si l'échange de deux vecteurs a pour effet de changer le résultat obtenu en son opposé :
 .

On peut effectuer plusieurs échanges de vecteurs successifs. On réalise ainsi une permutation des vecteurs, obtenue comme une succession de transpositions. À chaque étape, le résultat est non modifié si f est symétrique, et changé en son opposé si f est antisymétrique. Finalement, l'effet d'une permutation générale des vecteurs est de ne pas modifier le résultat si f est symétrique, et de multiplier par la signature de la permutation si f est antisymétrique. En résumé,   désignant le groupe symétrique d'indice   :

  • si f est symétrique alors :
  ;
  • si f est antisymétrique alors :
 

Les sous-ensembles correspondants de  , notés respectivement   et  , sont des sous-espaces vectoriels. Si la caractéristique du corps K est égale à 2, ils sont égaux.

Application alternéeModifier

Une application   est dite alternée si elle s'annule à chaque fois qu'on l'évalue sur un k-uplet contenant deux vecteurs identiques :

 

De façon équivalente, une application k-linéaire sur   est alternée si elle s'annule sur tous les k-uplets liés. En particulier, si k est strictement supérieur à la dimension de E, alors la seule application k-linéaire alternée de   dans F est l'application nulle.

Toute application multilinéaire alternée est antisymétrique.

Si la caractéristique du corps K est différente de 2, la réciproque est vérifiée : toute application multilinéaire antisymétrique est alternée[1].

Application n-linéaire alternée en dimension nModifier

Dans cette section on suppose que l'espace E est de dimension finie n et l'on étudie le cas particulier k = n. Pour F = K, cette étude permet de donner une définition alternative du déterminant dans une base e d'un n-uplet de vecteurs, ou de sa matrice, lorsqu'on l'a défini au préalable par la formule de Leibniz.

Si E est muni d'une base  , on peut décomposer chaque vecteur

 .

Alors, l'expression d'une forme n-linéaire f sur le n-uplet   (voir supra) se simplifie lorsque f est alternée (donc aussi antisymétrique) :

 [1].

Ainsi, la connaissance du seul vecteur   suffit pour déterminer complètement la fonction f, et l'application   est l'unique forme n-linéaire alternée f telle que  .

Théorème[1] — Si E est de dimension n, alors l'espace   des applications n-linéaires alternées de En dans F est isomorphe à F.

Remarque : ce théorème permet d'orienter des espaces vectoriels réels en choisissant, dans le cas où F=R, dans la droite A des formes n-linéaires alternées, l'une ou l'autre des demi-droites A' ou A'' et en appelant plans vectoriels orientés les couples (E,A) ou (E,A')[2].

Application k-linéaire alternée en dimension n>kModifier

Reprenant le cas d'une application k-linéaire alternée en dimension n, on suppose cette fois que n > k (rappelons que si n < k, toute application k-linéaire alternée est nulle). Une partie seulement des résultats précédents peut être étendue. Il est toujours possible de supprimer les termes où figure deux fois le même vecteur ; il vient

 

J est l'ensemble des k-uplets   avec chaque   dans [|1,n|] et les   tous distincts. De plus par antisymétrie, il est possible de réordonner les termes dans f de façon à ne conserver qu'une combinaison de termes de la forme

 

Le nombre de tels k-uplets réordonnés est le coefficient binomial  , et une forme k-linéaire alternée est caractérisée par la donnée de la valeur de f sur ces k-uplets. En définitive, le théorème précédent se généralise en :

Théorème — Si E est de dimension n, alors l'espace   des applications k-linéaires alternées de Ek dans F est isomorphe à

 

Plus précisément, la formule de décomposition peut être écrite en utilisant la notion de déterminant : chaque coefficient est un mineur de la matrice représentative de la famille des vecteurs   dans la base des  .

 

NoteModifier

  1. a b et c Pour une démonstration, voir par exemple la leçon sur Wikiversité.
  2. Jean Dieudonné, Algèbre linéaire et géométrie élémentraire, Paris, Hermann, , pp. 78-83 pour les plans vectoriels

Voir aussiModifier

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Articles connexesModifier

Algèbre extérieureAnticommutativitéPermanentTenseur

BibliographieModifier

Roger Godement, Cours d'algèbre