Ouvrir le menu principal
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Algèbre (homonymie).

En mathématiques, en algèbre linéaire, on appelle algèbre graduée une algèbre dotée d'une structure supplémentaire, appelée graduation.

DéfinitionModifier

Soit A une algèbre sur un corps (ou plus généralement sur un anneau) K. Une graduation sur A est la donnée d’une famille de sous-espaces vectoriels   de A vérifiant :

  •   ;
  •  , c'est-à-dire que  .

L’algèbre A est alors dite graduée (parfois ℕ-graduée, comme cas particulier de la notion d'algèbre M-graduée pour un monoïde M[1]).

Les éléments de Ai sont dits homogènes de degré i. Un idéal est dit homogène si, pour chaque élément a qu'il contient, il contient également les parties homogènes de a. Cela revient à dire que I est engendré par des éléments homogènes.

Tout anneau (non gradué) A peut être doté d'une graduation en posant A0 = A et Ai = 0 pour tout i > 0. Cette structure est appelée graduation triviale de A.

Une application f entre des algèbres graduées A et B (sur le même corps) est un homomorphisme d'algèbres graduées[1] si   pour tout i.

ExemplesModifier

  • L'anneau de polynômes en plusieurs indéterminées K[X1, … , Xn], où les éléments homogènes de degré n sont les polynômes homogènes de degré n.
  • L'algèbre tensorielle T(V) sur un espace vectoriel V, où les éléments homogènes de degré n sont les tenseurs de la forme  .
  • L'algèbre symétrique S(V) et l'algèbre extérieure Λ(V) sont des algèbres graduées, les éléments homogènes de degré n étant les images des éléments homogènes de T(V). Plus généralement, si un idéal I d'une algèbre graduée A est homogène, le quotient A/I est naturellement gradué par
     

Notes et référencesModifier

  1. a et b N. Bourbaki, Algèbre (lire en ligne), p. III.30.

Article connexeModifier