1 (nombre)

nombre entier naturel

012
Cardinal un, une
Ordinal premier, première
prime (anc.)
1er, 1re
Préfixe grec mono
Préfixe latin uni
Adverbe premièrement
Adverbe d'origine
latine
primo
Multiplicatif d'origine
latine
semel
Propriétés
Facteurs premiers aucun
Diviseurs 1
Système de numération unaire
Autres numérations
Numération romaine I
Numération chinoise 一,弌,壹, 幺
Numération indo-arabe ١
Système binaire 1
Système octal 1
Système duodécimal 1
Système hexadécimal 1

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1 en Alphabet Morse
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1 (un) est l'entier naturel représentant une entité seule. « Un » fait quelquefois référence à l'unité, et « unitaire » est quelquefois utilisé comme un adjectif dans ce sens (par exemple, un segment de longueur unitaire est un segment de longueur 1).

En mathématiquesModifier

Le nombre 1 est défini comme le successeur du nombre 0. C'est le plus petit ordinal successeur et le premier nombre impair.

Pour tout nombre   :

  •   (ceci exprime le fait que 1 est l'élément neutre pour la multiplication) ;
  •   (voir division) ;
  •   ;
  •   ;
  • si  ,   (voir exponentiation).

Pour tout entier naturel  ,   et   (voir puissances itérées de Knuth).

En utilisant l'addition ordinaire, nous avons 1 + 1 = 2 ; dépendant de l'interprétation du symbole « + » et du système de numération utilisé, l'expression peut avoir beaucoup de sens différents.

1 ne peut pas être utilisé comme base d'un système de numération positionnel de manière ordinaire. Quelquefois les marques de dénombrement sont assimilées à la « base 1 » ou système unaire, puisque seulement une marque (souvent un bâton) est nécessaire, mais cela ne marche pas de la même façon que le système de numération positionnelle. En liaison avec ceci il n'existe pas de logarithme en base 1, puisque la « fonction exponentielle » de base 1 est la fonction constante 1.

1, dans la représentation de Von Neumann des nombres naturels, est défini comme l'ensemble {0}. Il a un seul élément, c'est un ordinal et un cardinal, son rang ordinal est 1.

On appelle singleton un ensemble ayant un seul élément.

Dans un groupe multiplicatif ou monoïde, l'élément neutre est quelquefois noté 1, mais « e » (issu de l'allemand Einheit, unité) est plus traditionnel. Néanmoins, 1 est spécialement dédié pour l'identité multiplicative d'un anneau. (Cette identité multiplicative est souvent appelée « unité ».)

1 est sa propre factorielle.

1 est aussi le premier et le deuxième nombre dans les suites de Fibonacci, et le premier nombre de beaucoup de suites mathématiques. Comme sujet de convention, le premier Livre de suites entières de Sloane ajoutait un 1 initial à chaque suite qui n'en avait pas déjà un, et considérait ces 1 initiaux dans leur ordre lexicographique. Plus tard, Sloane dans son Encyclopédie des suites entières et sa contrepartie Web, l'Encyclopédie électronique des suites entières, ignora ces 1 initiaux dans l'ordre lexicographique des suites, car de tels 1 initiaux correspondent aux cas triviaux.

1 est le produit vide, lorsqu'il est l'élément neutre de la multiplication utilisée. En particulier et par convention pour assurer la continuité des fonctions exponentielles pour la valeur zéro, tout nombre (sauf zéro[1]) élevé à la puissance zéro donne le résultat 1.

1 est une des trois valeurs possibles retournées par la fonction de Möbius. En entrant un entier qui est sans carré avec un nombre pair de facteurs premiers distincts, la fonction de Möbius retourne un.

1 est le seul nombre impair qui soit dans l'image de la fonction indicatrice d'Euler (  pour x = 1 et x = 2 seulement).

1 est, par définition, la norme d'un vecteur unité et de la matrice unité.

1 n'est plus considéré comme un nombre premierModifier

Bien que le nombre ait été considéré dans le passé comme étant un nombre premier (alors défini comme un nombre divisible seulement par un et lui-même), la définition maintenant généralement acceptée (nombre ayant exactement deux diviseurs distincts, soit un et lui-même), l’exclue.

D'ailleurs, pour garantir l'unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers, il est nécessaire de ne pas considérer 1 comme un nombre premier.

Le dernier mathématicien professionnel[Quoi ?] à publier 1 en tant que nombre premier fut Henri Lebesgue en 1899[réf. nécessaire].

Quelques propriétés arithmétiques de 1Modifier

Dans la société humaineModifier

Beaucoup de cultures humaines ont donné au concept d'unicité des sens symboliques. Beaucoup de religions considèrent Dieu comme l'exemple parfait d'unicité. Voir l'article « Monade (philosophie) » pour une discussion détaillée à propos d'autres types d'unicités.

Quelque chose est « unique » si c'est le seul exemplaire de son espèce. De manière plus dégradée et plus exagérée (spécialement en publicité), le terme est utilisé pour quelque chose de très spécial.

Dans la langue française, un est l'article indéfini masculin singulier ; le féminin est une.

Un est aussi l'expression de la troisième personne du singulier pour la distinguer d'un groupe (« L'un de vous prendra-t-il un café ?) ».

En sciencesModifier

Le nombre « 1 » est :

Dans d'autres domainesModifier

Le nombre « 1 », sous diverses graphies (« un », « I », « 01 », etc.), peut référer à :

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « 1 (number) » (voir la liste des auteurs).

Voir aussiModifier

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Articles connexesModifier

Lien externeModifier

Gérard Villemin, « 1 », sur Nombres - Curiosités, théorie et usages