Diviseur

Entier défini à partir d'un entier initial dont il est multiple

Le mot diviseur a deux significations en mathématiques :

  • Une division est effectuée à partir d’un “dividende” et d’un “diviseur”, et une fois l’opération terminée, le produit du “quotient” par le diviseur augmenté du “reste” est égal au dividende.
  • En arithmétique, un diviseur d'un entier est un entier tel qu'il existe un autre entier tel que . Par exemple est un diviseur de car . La notion de diviseur est liée à celle de multiple, car si divise alors est un multiple de , et à la notion de divisibilité[1].
Les diviseurs de représentés à l'aide de réglettes Cuisenaire: et

Ces deux notions sont liées. Si est un diviseur de au sens arithmétique, alors le reste de la division euclidienne de par est et donc est un entier. On dit alors que est divisible par .

Cette notion se généralise aux anneaux commutatifs. Contrairement à , dans un anneau non intègre, peut avoir des diviseurs non nul.

Diviseurs d'un entier

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Ensemble des diviseurs

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Si  , tout entier divise  . En effet pour tout  , l'ensemble des entiers relatifs,  , ainsi l'ensemble des diviseurs de   est  .

Si   est un entier non nul, alors   ne divise pas  . L'entier   a donc des diviseurs positifs et négatifs, mais pas de diviseur nul. De plus, si   est un diviseur de   alors   est aussi un diviseur de  . Ainsi les diviseurs positifs et négatifs sont les mêmes au signe près. Ces observations expliquent pourquoi on ne s’intéresse souvent qu'aux diviseurs positifs d'un entier positif. Par la suite, on se placera dans cette situation.

Ainsi l'ensemble des diviseurs (positifs) de   est   et celui de   est  .

L'entier   possède qu'un seul diviseur :  .

Relation de divisibilité

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Diagramme de Hasse des diviseurs de   : une arête entre deux sommets indique que l'élément le plus bas est un diviseur de l'élément le plus haut.

Si   est un diviseur de  , tout diviseur de   est aussi un diviseur de  . Cette propriété induit une sorte de hiérarchie parmi les diviseurs d'un entier qui peut être visualisée sous forme d'un diagramme de Hasse.

Le relation de de divisibilité est une relation d'ordre sur les entiers[2].

Tout entier   strictement supérieur à   possède au moins deux diviseurs   et   qui sont appelés ses diviseurs triviaux. Un diviseur de   différent de   est un diviseur strict de   (ou partie aliquote — le terme diviseur propre est utilisé comme synonyme tantôt de diviseur strict, tantôt de diviseur non trivial).

Nombre premier

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Un entier   qui possède exactement deux diviseurs est appelé un nombre premier. Un nombre premier diviseur de   est appelé un diviseur premier de  .

Le théorème fondamental de l'arithmétique énonce que tout entier strictement supérieur à   s'écrit de manière unique sous forme d'un produit de puissances de nombres premiers qui sont ses diviseurs premiers. Cette décomposition en facteurs premiers permet d'énumérer tous les diviseurs de l'entier. Si   où les   sont des nombres premiers distincts et les   des exposants entiers strictement positifs, alors,   est un diviseur de   si et seulement s’il existe des entiers   compris au sens large entre   et   tels que  

Ainsi la décomposition de   est   et   est un diviseur de   car il peut s'écrire  

Fonctions liées à l'ensemble des diviseurs

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Il existe des fonctions d'un entier   créées à partir de l'ensemble de ses diviseurs. Les plus classiques sont les fonctions « nombre de diviseurs » et « somme des diviseurs ».

La fonction « nombre de diviseurs » donne le nombre   des diviseurs de  . Ainsi   et  . La décomposition en facteurs premiers de   permet de donner une valeur explicite à cette fonction[3]. Si la décomposition de   est   alors  

Les fonctions « somme des diviseurs » et « somme des diviseurs stricts » interviennent dans l'étude des nombres parfaits, nombres abondants, nombres déficients ou nombres amiables, ainsi que dans les suites aliquotes.

Elles font partie de la famille des fonctions "somme des puissances des diviseurs".

Diviseur dans un anneau

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La définition de diviseur se généralise à un anneau commutatif [4]: si   et   sont deux éléments d'un anneau  ,   divise   si et seulement s’il existe un élément   de   tel que  .

Une attention spéciale doit être portée à la notion de divisibilité de zéro. Selon la définition précédente, tout élément   de   divise   (élément neutre de l'addition dans l'anneau  ) car  .

Les mathématiciens distinguent cependant deux types d'anneaux commutatifs :

  • les anneaux intègres, définis comme ceux dans lesquels l'égalité   implique qu'au moins un des deux éléments   et   est nul.
  • les anneaux non intègres sont ceux, non réduits à  , dans lesquels l'égalité   peut être vraie alors même que ni   ni   ne sont nuls. De tels diviseurs, non nuls, de   sont alors appelés "diviseurs de zéro" dans l'anneau[5].

Il y a des différences importantes dans les raisonnements mathématiques possibles dans ces deux types d'anneaux. En particulier, dans un anneau intègre, si on a   et   non nul, on peut en déduire que  . En effet :  , donc   et l'un au moins de   et   doit être nul, car l'anneau est intègre. Comme   n'est pas nul , c'est   qui l'est, donc  . Dans un anneau non intègre, on ne peut pas conduire le même raisonnement car   n'implique pas que   soit nul, même si   ne l'est pas.

Exemple illustratif : dans l'anneau   , on a  . Cela veut dire que si on multiplie n'importe quel entier relatif congru à 2 modulo 6 (noté "2") par n'importe quel entier relatif congru à 3 modulo 6 (noté "3"), on obtient un entier congru à 0 modulo 6 (noté "0"), car divisible par 6.   est donc non intègre, et 2 comme 3 sont des diviseurs de 0. En outre on a   mais aussi   donc   , et cependant 2 ≠ 4[6].

Notes et références

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  1. Jean Wacksmann, Mathématiques expertes Tle: pour aller plus loin en démontrant et en s'entraînant nouveaux programmes, Paris, Ellipses, , 528 p. (ISBN 978-2-340-06756-1), p. 190-191
  2. Wacksmann 2022, p. 193
  3. Hardy et Wright 1956, p. 238-239.
  4. Aviva Szpirglas, Algèbre L3 : Cours complet avec 400 tests et exercices corrigés [détail de l’édition], partie IV, chap.9, I.5, p. 462.
  5. « Diviseurs de zéro - Anneau intègre », sur bibmath.net
  6. Hardy et Wright 1956, p. 48-51.

Bibliographie

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  • (en) Hardy et Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford, Oxford University Press, , 3e éd., 419 p. (lire en ligne)

Articles connexes

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