Diviseur

Entier défini à partir d'un entier initial dont il est multiple

Le mot diviseur a deux significations en mathématiques :

  • Une division est effectuée à partir d’un “dividende” et d’un “diviseur”, et une fois l’opération terminée, le produit du “quotient” par le diviseur augmenté du “reste” est égal au dividende.
  • En arithmétique, un diviseur d'un entier est un entier tel qu'il existe un autre entier tel que . Par exemple est un diviseur de car . La notion de diviseur est liée à celle de multiple, car si divise alors est un multiple de , et à la notion de divisibilité[1].
Les diviseurs de 10 représentés à l'aide de réglettes Cuisenaire: 1, 2, 5 et 10

Ces deux notions sont liées. Si est un diviseur de au sens arithmétique et , alors le reste de la division euclidienne de par est et donc est un entier. On dit alors que est divisible par .

Cette notion se généralise aux anneaux commutatifs. Contrairement à , dans un anneau non intègre, peut avoir des diviseurs non nul.

Diviseurs d'un entier

modifier

Ensemble des diviseurs

modifier

Si  , tout entier divise  . En effet pour tout  , l'ensemble des entiers relatifs,  , ainsi l'ensemble des diviseurs de   est  .

Si   est un entier non nul, alors   ne divise pas  . L'entier   a donc des diviseurs positifs et négatifs, mais pas de diviseur nul. De plus, si   est un diviseur de   alors   est aussi un diviseur de  . Ainsi les diviseurs positifs et négatifs sont les mêmes au signe près. Ces observations expliquent pourquoi on ne s’intéresse souvent qu'aux diviseurs positifs d'un entier positif. Par la suite, on se placera dans cette situation.

Ainsi l'ensemble des diviseurs (positifs) de   est   et celui de   est  .

L'entier   possède qu'un seul diviseur :  .

Relation de divisibilité

modifier
 
Diagramme de Hasse des diviseurs de 60 : une arête entre deux sommets indique que l'élément le plus bas est un diviseur de l'élément le plus haut.

Si   est un diviseur de  , tout diviseur de   est aussi un diviseur de  . Cette propriété induit une sorte de hiérarchie parmi les diviseurs d'un entier qui peut être visualisée sous forme d'un diagramme de Hasse.

Le relation de de divisibilité est une relation d'ordre sur les entiers[2].

Tout entier n strictement supérieur à 1 possède au moins deux diviseurs 1 et n qui sont appelés ses diviseurs triviaux. Un diviseur de n différent de n est un diviseur strict de n (ou partie aliquote — le terme diviseur propre est utilisé comme synonyme tantôt de diviseur strict, tantôt de diviseur non trivial).

Nombre premier

modifier

Un entier n qui possède exactement deux diviseurs est appelé un nombre premier. Un nombre premier diviseur de n est appelé un diviseur premier de n.

Le théorème fondamental de l'arithmétique énonce que tout entier strictement supérieur à 1 s'écrit de manière unique sous forme d'un produit de puissances de nombres premiers qui sont ses diviseurs premiers. Cette décomposition en facteurs premiers permet d'énumérer tous les diviseurs de l'entier. Si   où les pi sont des nombres premiers distincts et les αi des exposants entiers strictement positifs, alors, d est un diviseur de n si et seulement s’il existe des entiers βi compris au sens large entre 0 et αi tels que  

Ainsi la décomposition de 60 est   et 10 est un diviseur de 60 car il peut s'écrire  

Fonctions liées à l'ensemble des diviseurs

modifier

Il existe des fonctions d'un entier n créées à partir de l'ensemble de ses diviseurs. Les plus classiques sont les fonctions « nombre de diviseurs » et « somme des diviseurs ».

La fonction « nombre de diviseurs » donne le nombre d(n) des diviseurs de n. Ainsi d(10) = 4, d(36) = 9 et d(60) = 12. La décomposition en facteurs premiers de n permet de donner une valeur explicite à cette fonction. Si la décomposition de n est   alors  

Les fonctions « somme des diviseurs » et « somme des diviseurs stricts » interviennent dans l'étude des nombres parfaits, nombres abondants, nombres déficients ou nombres amiables, ainsi que dans les suites aliquotes.

Elles font partie de la famille des fonctions "somme des puissances des diviseurs".

Diviseur dans un anneau

modifier

La définition de diviseur se généralise à un anneau commutatif : si a et b sont deux éléments d'un anneau A, b divise a si et seulement s’il existe un élément c de A tel que a = bc[3].

Une attention spéciale doit être portée sur la notion de diviseur de zéro. Selon la définition précédente, tout élément de A divise 0A (élément neutre de l'addition dans l'anneau A) car a × 0A = 0A. Cependant, dans un anneau non intègre, il existe des éléments de A, non nuls, b et c tels que bc = 0A. Ces éléments sont appelés des diviseurs de zéro dans A.

Notes et références

modifier
  1. Jean Wacksmann, Mathématiques expertes Tle: pour aller plus loin en démontrant et en s'entraînant nouveaux programmes, Paris, Ellipses, , 528 p. (ISBN 978-2-340-06756-1), p. 190-191
  2. Wacksmann 2022, p. 193
  3. Aviva Szpirglas, Algèbre L3 : Cours complet avec 400 tests et exercices corrigés [détail de l’édition], partie IV, chap.9, I.5, p. 462.

Articles connexes

modifier