Logarithme

famille de fonction mathématiques pour lesquelles l'image d'un produit est la somme des images

En mathématiques, un logarithme est la fonction réciproque d'une exponentiation, c'est-à-dire que le logarithme de base b d'un nombre réel strictement positif est la puissance à laquelle il faut élever la base b pour obtenir ce nombre.

Tracés des courbes des fonctions logarithmes en base 2, e et 10.
Exemple :

Le logarithme en base 10 de 1000 est 3 car 103 = 10×10×10 = 1000.

Dans ce cas, le plus simple, le logarithme est le nombre entier qui compte les répétitions de la base multipliée par elle-même. Dans cette opération, multiplier un nombre par la base équivaut à ajouter 1 à son logarithme. L'exponentiation généralise cette opération de multiplication par soi-même à des puissances intermédiaires entre les entiers, qu'on exprime en nombres réels.

Exemple :

Le logarithme en base 10 de la racine de 10, notée , est 0,5 car

, donc

Le logarithme de base b du nombre x se note logb x. Si la base est évidente d'après le contexte, ou si elle n'a pas d'importance, on peut écrire simplement log x. Par définition, .

John Napier a développé les logarithmes au début du XVIIe siècle. L'utilité du logarithme pour le calcul vient du fait que la fonction logarithme transforme un produit en somme : . Pendant trois siècles, la table de logarithmes et la règle à calcul, fondée sur une échelle logarithmique, ont servi pour le calcul, jusqu'à leur remplacement, à la fin du XXe siècle, par des calculatrices.

Le logarithme permet en outre de présenter sous une forme concise des relations entre nombres d'ordre de grandeur très différents.

Trois fonctions logarithmes sont d'usage courant :

Le logarithme complexe généralise la notion de logarithme aux nombres complexes.

Motivation modifier

Une échelle logarithmique permet de représenter sur un même graphique des nombres dont l'ordre de grandeur est très différent. Les sciences appliquées les utilisent fréquemment dans les formules, comme celles qui évaluent la complexité des algorithmes ou des fractales et celles qui dénombrent les nombres premiers. Ils décrivent les intervalles musicaux et selon le modèle de Weber-Fechner s'appliquent généralement en psychophysique.

Tout logarithme transforme

  • un produit en somme :  
  • un quotient en différence :  
  • une puissance en produit :  

Historique modifier

La présentation de correspondances entre suites arithmétiques et suites géométriques avec l'observation qu'une somme dans une suite correspond à un produit dans l'autre est ancienne et on la voit déjà chez Archimède (IIIe siècle av. J.-C.), Chuquet (XVe siècle) et Stifel (début du XVIe siècle) en Europe[1], al-Samaw'al[2] (XIIe siècle) et Ibn Hamza al-Maghribi[3] (fin du XVIe siècle) dans le monde arabe , mais l'observation est plutôt tournée vers une utilisation algébrique[4].

Vers la fin du XVIe siècle, le développement de l'astronomie et de la navigation maritime d'une part et les calculs bancaires d'intérêts composés d'autre part poussent les mathématiciens à chercher des méthodes de simplification de calculs et en particulier le remplacement des multiplications par des sommes[5]. L'invention de tables dites logarithmique permettant de faciliter les calculs comportant des produits est l’œuvre de mathématiciens du début du XVIIe siècle: Jost Bürgi[6], Neper et Briggs[7], travail poursuivi par Johannes Kepler[8], Ezechiel de Decker et Adriaan Vlacq[6].

En 1647, Grégoire de Saint-Vincent, travaillant sur la quadrature de l’hyperbole, définit la fonction primitive de la fonction   s’annulant en 1. Huygens remarquera en 1661 que cette fonction se trouve être une fonction logarithme particulière : le logarithme naturel[9].

La correspondance entre les fonctions exponentielles et logarithmes n’apparaît qu'après le travail de Leibniz sur la notion de fonction, en 1697, et se développe au cours du XVIIIe siècle dans les écrits d'Euler[10].

La tentative d'application de la fonction logarithmique à la variable complexe date du XVIIIe siècle et donne lieu à une controverse entre Bernoulli et Leibniz résolue par Euler[11].

Propriétés des fonctions logarithmes modifier

Dans cette section, nous donnons des propriétés d'une fonction logarithme, quelle que soit sa base b.

Propriétés algébriques modifier

Les fonctions logarithme sont par définition les morphismes continus non constamment nuls de   vers  .

Pour tout réel b strictement positif et différent de 1, le logarithme de base b : logb est la fonction continue définie sur   vérifiant l'équation fonctionnelle :

pour tous x et y réels strictement positifs,
 

et

 

Cette définition permet de déduire rapidement les propriétés suivantes :

 
 
 
  pour tout entier naturel n, puis pour tout entier relatif n
  pour tout rationnel r.

Comme tout réel strictement positif x est la limite d'une suite dont le terme général est de la forme brn, où (rn) est une suite de rationnels convergeant vers un réel  , on détermine logb(x) comme étant la limite de rn.

Changement de base modifier

Deux fonctions logarithmes ne diffèrent que d’une constante multiplicative : pour tous réels strictement positifs a et b différents de 1 et pour tout réel x > 0,

 .

Toutes les fonctions logarithmes peuvent donc s’exprimer à l’aide d’une seule, par exemple la fonction logarithme népérien : pour tout réel strictement positif b différent de 1 et pour tout réel x > 0,

 .

Dérivée modifier

La fonction logb est dérivable sur   de dérivée :

  qui a même signe que ln(b).

Donc la fonction logb est strictement monotone, croissante quand b est supérieur à 1, décroissante dans le cas contraire.

Nombre de chiffres avant la virgule modifier

Si b est un entier supérieur ou égal à 2 et x > 0, la représentation propre de x en base b possède n chiffres avant la virgule si et seulement si  , soit  . Le nombre de chiffres n est donc égal à  .

Et lorsque x tend vers l'infini, on a donc  .

Fonction réciproque (antilogarithme) modifier

 
Représentation dans le cas b > 1. Le graphe de la fonction logarithmique logb(x) (bleu) est obtenu en reflétant celui de la fonction bx (rouge) par rapport à la diagonale x = y.

La fonction   est la bijection réciproque de la fonction exponentielle de base b[12], parfois appelée antilogarithme de base b :

 .

Autrement dit, les deux façons possibles de combiner (ou composer) les logarithmes et l’élévation à des puissances redonnent le nombre original :

  • pour tout réel x, prendre la puissance x-ième de b, puis le logarithme en base b de cette puissance, redonne x :
      ;
  • inversement, pour tout réel y strictement positif, prendre d'abord le logarithme en base b, puis élever b à sa puissance, redonne y :
     

Les fonctions réciproques sont étroitement liées aux fonctions originales. Leurs graphes, qui se correspondent lorsqu’on échange les coordonnées x et y (ou par réflexion par rapport à la diagonale x = y), sont montrés à droite dans le cas où b est un réel strictement supérieur à 1 : un point (u, t = bu) sur le graphe (rouge) de la fonction antilogarithme xbx fournit un point (t, u = logb(t)) sur le graphe (bleu) du logarithme et vice versa. Comme b > 1, la fonction logb est croissante et quand x tend vers +∞, logb(x) tend vers +∞, tandis que lorsque x approche zéro, logb(x) tend vers –∞. Dans le cas où le réel b est strictement compris entre 0 et 1, la fonction logb est décroissante et ces limites sont interverties.

En matière de calcul, l'antilog ramène des logarithmes aux valeurs. Soit à évaluer une formule F combinant multiplications, divisions et exponentiations, et soit f la formule définissant le logarithme de F en combinant sommes, différences et produits des (logarithmes) des données. La valeur de F peut s'obtenir comme l'antilog de la valeur de f, ce qui conclut le calcul. On peut ainsi remplacer l'évaluation  

par

 .

Fonctions logarithme courantes modifier

Logarithme népérien modifier

Le logarithme népérien, ou logarithme naturel, est la fonction logarithme dont la dérivée est la fonction inverse définie de   dans   :  .

La fonction de Neper est par convention notée « ln »[13] ou « log », notation couramment utilisée en théorie des nombres et en informatique[14].
La base de la fonction logarithme népérien, notée e, est appelée nombre de Néper[15] ou nombre d'Euler[16],[17].

Une valeur approchée est :

 .

Logarithme décimal modifier

C’est le logarithme le plus pratique dans les calculs numériques manuels, il est noté log ou log10. La norme ISO 80000-2[18] indique que log10 devrait être noté lg, mais cette notation est rarement utilisée.

On le retrouve dans la création des échelles logarithmiques, les repères semi-logarithmiques ou log-log, dans la règle à calcul, dans le calcul du pH, dans l’unité du décibel.

Il précise à quelle puissance il faut élever 10 pour retrouver le nombre de départ : l'image d'un nombre par log est l'entier relatif auquel il faut élever 10 pour obtenir l'antécédent. Par exemple :

En base 10 :
 
 
 
 

La valeur du logarithme d’autres nombres que des puissances de 10 demande un calcul approché. Le calcul de log(2) par exemple peut se faire à la main, en remarquant que 210 ≈ 1000 donc 10 log10(2) ≈ 3 donc log10(2) ≈ 0,3.

Pour tout réel strictement positif b différent de 1 et pour tout réel x > 0,

 .

Logarithme binaire modifier

La norme ISO 80 000 recommande de noter lb le logarithme en base 2[19].

Le logarithme binaire, d'usage spécialisé dans le calcul des intervalles musicaux à partir d'un rapport de fréquences, pour obtenir des octaves, des demi-tons ou des cents, a trouvé beaucoup plus d'application en informatique. Les ordinateurs travaillant en système binaire, le calcul d'un logarithme en base 2 se fait par l'algorithme le plus précis et le plus efficace.

Un nombre x codé en virgule flottante binaire se décompose en une mantisse m, comprise entre 1 (inclus) et 2 (exclu) et un exposant p, indiquant la puissance de 2 qui multiplie la mantisse pour obtenir le nombre. L'exposant est la partie entière du logarithme binaire, tandis que le logarithme binaire de la mantisse est compris entre 0 (inclus) et 1 (exclu).

 

Ce qui ramène le calcul à celui du logarithme binaire d'un nombre entre 1 (inclus) et 2 (exclu). Si on multiplie ce nombre par lui-même, et que le résultat dépasse 2, c'est que le nombre est supérieur à 2 : le chiffre suivant, après la virgule, est un 1, dans le cas contraire, c'est un 0. On continue par itération jusqu'à la précision souhaitée.

Les deux logarithmes précédents se déduisent de celui-ci par :

 .

Cologarithme modifier

Le cologarithme d'un nombre est l'opposé du logarithme de ce nombre et le logarithme de son inverse[20] :  .

Généralisations modifier

Le logarithme complexe est la fonction réciproque de l'exponentielle complexe et généralise ainsi la notion de logarithme aux nombres complexes. Le logarithme discret généralise les logarithmes aux groupes cycliques et a des applications en cryptographie à clé publique.

Notes et références modifier

  1. Odile Kouteynikoff, « Invention de nombres : calculs ou résolutions », dans Commissionn inter-Irem d'Épistémologie et d'histoire des mathématiques, Histoire de logarithmes, Ellipses, , p. 11-38, p. 11
  2. Kouteynoff 2006, p. 20.
  3. Pierre Ageron, « Ibn Hamza a-t-il découvert les logarithmes ? Constitution et circulation du discours islamocentré sur l’histoire des mathématiques » [PDF], sur IREM de Basse-Normandie & Université de Caen
  4. Kouteynikoff 2006, p. 11.
  5. Jean-Pierre Friedelmeyer, L'invention des logarithmes par Neper et le calcul des logarithmes décimaux par Briggs.
  6. a et b Petite encyclopédie de mathématiques, Didier, 1980, p. 72
  7. Évelyne Barbin, « Présentation: pour une approche historique des logarithmes et des exponentielles », dans Commissionn inter-Irem d'Épistémologie et d'histoire des mathématiques, Histoire de logarithmes, Ellipses, , p. 5-10, p.6
  8. « Chilias Logarithmorum », sur e-rara.ch.
  9. Emmanuel Ferrand, Laurent Koelblen, Matthieu Romagny, « Un peu d’histoire »,
  10. Barbin 2006, p. 7.
  11. Jean-Luc Verley, « La controverse des logarithmes des nombres négatifs et imagianires », dans Commissionn inter-Irem d'Épistémologie et d'histoire des mathématiques, Histoire de logarithmes, Ellipses, , p. 269-288
  12. (en) James Stewart (en), Single Variable Calculus : Early Transcendentals, Thomson Brooks/Cole, , 7e éd. (lire en ligne), section 1.6.
  13. La norme AFNOR NF X 02-1 01, de 1961, recommande la notation ln (Tables numériques de J. Laborde, 1976, p. VI).
  14. Langages C, Java, Javascriptetc.
  15. D. Guinin et B. Joppin, Mathématiques MPSI: Exercices, Bréal, (lire en ligne), p. 33.
  16. O. Ferrier, Maths pour économistes : L'Analyse en économie, vol. 1, De Boeck Université, (ISBN 978-2-8041-4354-1), p. 275.
  17. Ne pas confondre avec divers autres « nombres d'Euler ».
  18. ISO 80000-2:2009. Organisation internationale de normalisation. Consulté le 19 janvier 2012.
  19. Organisation internationale de normalisation, « ISO 80000-2:2019 » (consulté le ).
  20. Alain Bouvier, Michel George et François Le Lionnais, Dictionnaire des mathématiques, Presses universitaires de France, (1re éd. 1979), p. 159.

Voir aussi modifier

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Articles connexes modifier

Applications pratiques modifier

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