Nombre hexagonal centré

type de nombre polygonal centré

En mathématiques, un nombre hexagonal centré est un nombre figuré polygonal centré qui peut être représenté par un hexagone régulier ayant un point en son centre et tous ses autres points disposés en couches hexagonales concentriques de 6 points, 12 points, 18 points, etc.

Représentation du 4-ième nombre hexagonal centré

Les quatre plus petits nombres hexagonaux centrés sont :

Gnomon, relation de récurrenceModifier

Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième hexagone centré a un point central et n – 1 couches hexagonales régulières. Ainsi, il comporte n points sur chaque rayon et sur chaque côté.

Pour tout entier n ≥ 2, la dernière couche du n-ième hexagone centré comporte 6(n – 1) points ; c'est le gnomon associé au (n – 1)-ième hexagone centré, et faisant passer au n-ième :  

Le n-ième nombre hexagonal centré s'obtient donc en ajoutant 1 au produit par 6 du (n – 1)-ième nombre triangulaire :  .

ExempleModifier

 
Représentation à la fois du 5-ième nombre hexagonal centré et des six 4-ièmes nombres triangulaires autour de son centre

Le 5-ième nombre hexagonal centré est 1 plus 6 fois le 4-ième nombre triangulaire :  

Applications pratiquesModifier

Les nombres hexagonaux centrés ont des applications pratiques dans les domaines de la gestion de production et de la logistique, par exemple l'empaquetage de certains produits dans de plus grands récipients circulaires, comme les saucisses de Francfort dans des conteneurs cylindriques.

Liste de nombres hexagonaux centrés, propriété de congruenceModifier

Les dix plus petits nombres hexagonaux centrés sont 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169 et 217 (voir la suite A003215 de l'OEIS).

Le chiffre des unités en base dix de cette suite d'entiers suit le motif 1-7-9-7-1 ; les nombres hexagonaux centrés sont donc tous impairs.

Liens avec d'autres nombres figurésModifier

Pour trouver les nombres hexagonaux centrés qui sont aussi des nombres triangulaires ou des nombres carrés, ou tout cela à la fois, il suffit de résoudre les équations de Pell-Fermat associées.

Nombre hexagonal centré triangulaireModifier

 . Les trois plus petits nombres à la fois hexagonaux centrés et triangulaires sont donc C6, 1 = 1 = T1, C6, 6 = 91 = T13 et C6, 55 = 8 911 = T133 (pour les suivants, voir la suite  A006244).

Nombre hexagonal centré carréModifier

 . Les trois plus petits nombres à la fois hexagonaux centrés et carrés sont donc C6, 1 = 1 = 12, C6, 8 = 169 = 132 et C6, 105 = 32 761 = 1812 (pour les suivants, voir la suite  A006051).

Liens avec à la fois les nombres triangulaires et les nombres carrésModifier

  • 1 est le seul nombre à la fois hexagonal centré et carré triangulaire[1].
  • Pour tout entier n ≥ 1, la différence entre le n-ième nombre carré impair et le n-ième nombre hexagonal centré est le (n – 1)-ième nombre oblong :
(2n – 1)2 – [1 + 3n(n – 1)] = n(n – 1).
Autrement dit, le n-ième nombre carré impair est la somme du n-ième nombre hexagonal centré et du double du (n – 1)-ième nombre triangulaire :
(2n – 1)2 = C6,n + 2Tn–1.
Cette relation peut faire l'objet d'une preuve sans mot : placer les deux triangles (ayant n – 1 points sur chaque côté) contre deux côtés opposés (ayant n points chacun) de l'hexagone forme deux pointes opposées et le corps d'un losange (ayant 2n – 1 points sur chaque côté).

Somme partielle de nombres hexagonaux centrés : nombre cubiqueModifier

Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre hexagonal centré C6, n est le gnomon n3 – (n – 1)3[1].

(En particulier, les nombres à la fois hexagonaux centrés et premiers sont les nombres premiers différences de deux cubes consécutifs, c'est-à-dire les nombres premiers cubains[1] de première espèce.)

Donc[1] la somme des n plus petits nombres hexagonaux centrés est n3. Ainsi, les nombres pyramidaux hexagonaux centrés sont simplement les nombres cubiques[2], mais représentés par des formes différentes.

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Centered hexagonal number » (voir la liste des auteurs).