En arithmétique, un nombre figuré est un nombre entier qui peut être représenté par un ensemble de points disposés de façon plus ou moins régulière et formant une figure géométrique. Il répond donc à une classe particulière de problèmes de dénombrement.

Les nombres figurés sont d'origine très ancienne. On attribue généralement à Pythagore les premières études de nombres figurés[1],[2] (nombres carrés). Diophante a résolu plusieurs problèmes les concernant. Pascal a écrit un traité sur le sujet.

Exemple de nombres figurés modifier

Les nombres figurés les plus simples sont

1 4 9
    
  
   
   
   
1 3 6
   
  
 
  
   
1 7 19
    
   
  
   
    
     
    
   

Ils correspondent par exemple à la répartition des cônes de couleur au centre de la rétine, ou à celle des alvéoles d'abeilles.

1, 8, 27, 64

qui dessinent un cube dans l'espace.

Pistes d'exploration modifier

Le premier contact que tout être pensant entretient avec le nombre passe par le nombre figuré. C'est un langage universel non lié à l'écriture et aux systèmes de numération. Le nombre figuré permet de prouver que certains animaux (le poulpe par exemple) ont une conscience du nombre.[réf. nécessaire] En pédagogie, le passage par le nombre figuré permet de visualiser des propriétés comme la commutativité ou l'associativité des lois d'addition et de multiplication – lois qui sont dictées en construisant des rangées ou des tables de points. La relation 2 + 3 = 3 + 2 = 5, par exemple, qui traduit le fait que 2 et 3 sont permutables pour l'addition, peut être représentée par

    +    =    +     =      

Et la relation 2 × 3 = 3 × 2 = 6 (qui traduit le fait que 2 et 3 sont permutables pour la multiplication) peut être représentée par

2 × 3 3 × 2 6
   
   
  
  
  
      

On voit qu'on peut passer d'un rectangle à l'autre par rotation de 90° donc sans changer le nombre d'éléments. D'autre part, la somme est la simple juxtaposition des lignes des rectangles.

L'étude des nombres figurés consiste en général à trouver une relation entre le nombre lui-même et son rang dans la série. Par exemple, le nombre triangulaire de rang n est n(n + 1)/2. Le nombre cubique de rang n est n3. Les concepts des nombres figurés font intervenir implicitement le concept « moderne » de récurrence.

Une deuxième voie de recherche est de déterminer les propriétés des nombres figurant dans une même série. Par exemple, il est facile de montrer qu'il n'y a aucun nombre premier parmi les nombres triangulaires (sauf 3), carrés ou rectangles.

Une autre voie de recherche est d'utiliser les nombres figurés dans des résolutions d'équations dans ℕ comme l'extraction de racine carrée et de racine cubique.

Classification modifier

On range les nombres figurés suivant la dimension de la figure représentée. En dimension supérieure ou égale à 4, les nombres figurés ne sont plus représentables par des figures correspondant au monde tangible mais sont considérés comme des vues de l'esprit. La figure est alors un polytope et le nombre est alors appelé un nombre polytopique.

En dimension 1 modifier

Les nombres linéaires sont les entiers classiques.

En dimension 2 modifier

En dimension 3 modifier

En dimension 4 modifier

Nombres polytopiques généralisant les nombres triangulaires et tétraédriques modifier

On peut définir des nombres figurés comptant des points répartis dans un simplexe, polytope généralisant le triangle et le tétraèdre. Le n-ième nombre k-simplicial ou hypertétraédrique de dimension k [3],[4] est le nombre de points d'un k-simplexe dont les arêtes comportent n points. C'est donc la somme des nombres (k – 1)-simpliciaux d'indices 1 à n, ce qui permet, grâce à la formule d'itération de Pascal, de le calculer par récurrence :

 

  est la factorielle de  ,   est un coefficient binomial, et   une factorielle croissante.

Les nombres k-simpliciaux constituent donc la (  + 1)-ième colonne du triangle de Pascal. Par exemple, pour les dimensions de 1 à 6, ce sont :

  •   (nombres linéaires)
  •   , nombres triangulaires, suite A000217 de l'OEIS
  •   , nombres tétraédriques, suite A000292 de l'OEIS
  •   , nombres pentatopiques, suite A000332 de l'OEIS
  •  , suite A000389 de l'OEIS
  •  , suite A000579 de l'OEIS

Notes et références modifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Figurate number » (voir la liste des auteurs)

dont une source était (en) Midhat J. Gazalé, Gnomon, From Pharaohs to Fractals, PUP, (lire en ligne).

  1. Paul-Henri Michel, De Pythagore à Euclide, contribution à l'histoire des mathématiques préeuclidiennes, Paris, Les Belles-Lettres, p. 295 (ouvrage commenté par Émile Bréhier, dans la Revue d'histoire des sciences et leurs applications, année 1950, Volume 3, numéro 3-3 p. 203)
  2. (en) Elena Deza et Michel Marie Deza, Figurate Numbers, World Scientific, (lire en ligne), « Preface ».
  3. Charles-É. Jean, « Nombre hypertétraédrique ou tétraédrique Dk », sur Récréomath
  4. (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, , 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 194

Voir aussi modifier

Sur les autres projets Wikimedia :

Article connexe modifier

Lien externe modifier

Une classification des nombres figurés, sur recreomath.qc.ca