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Segment (mathématiques)

Portion de droite délimitée par deux points qui lui appartiennent
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Le segment [AB].

En géométrie, un segment de droite (souvent abrégé en "segment") est une portion de droite délimitée par deux points, appelés extrémités du segment. Un segment reliant deux points et est noté [1] ou [2] et représente la partie de la droite qui se situe « entre » les points et . Intuitivement, un segment correspond à un fil tendu entre deux points, en négligeant l'épaisseur du fil et la déformation due à son poids.

Sommaire

Formalisation dans le cadre de la géométrie affineModifier

Dans le cadre de la géométrie affine sur le corps des nombres réels, le segment   peut recevoir une définition précise[3] :

Définition — Le segment   est l'ensemble des barycentres à coefficients positifs ou nuls de   et  .

Dans cette définition, on suppose que   et   sont éléments d'un même espace affine (de dimension finie ou infinie, et qui peut être d'ailleurs un espace vectoriel) sur le corps   des nombres réels.

Le barycentre ne changeant pas lorsque tous les coefficients sont multipliés par une même constante non nulle, on déduit immédiatement de cette remarque l'énoncé suivant[4] :

Proposition — Le segment   est aussi l'ensemble des barycentres de   muni du poids   et   muni du poids    parcourt  .

Lorsque l'on travaille dans un espace vectoriel, cette remarque fournit une description utile du segment  , à savoir :

 

Si l'espace affine est topologique et séparé (au sens de Hausdorff), alors un segment est compact, comme image du compact   par l'application continue  .

On pourrait inverser les bornes des segments ; ainsi il est tout à fait licite d'écrire par exemple [B, A] pour [A, B]. Cependant, il y a une ambiguïté dans le cas réel : si les segments [1,2] et [2,1] sont égaux au sens affine, ils ne le sont pas au sens de l'ordre (cf.infra).

Segments en géométrie euclidienneModifier

En géométrie euclidienne, le segment est placé dans un espace euclidien   — ce peut être notamment un plan ou l'espace à trois dimensions muni de la distance familière entre points.

Soit   et   points quelconques de  . Le segment   est alors l'ensemble des points où l'inégalité triangulaire devient une égalité, ce qu'on peut écrire[5] :

Proposition — Dans un espace euclidien  ,  .

Segments en géométrie hyperboliqueModifier

En géométrie hyperbolique, on peut de la même façon disposer du même concept intuitif de « segment » entre   et   représentant la portion de la droite hyperbolique   située « entre » ces deux points, situé dans le plan hyperbolique (ou d'ailleurs dans un espace hyperbolique de n'importe quelle dimension).

En revanche, au moment d'écrire une définition plus précise, on ne dispose pas d'une notion similaire aux barycentres, et on est contraint de choisir une autre voie. Il existe bien sûr plusieurs manières de le faire, selon qu'on ait choisi de privilégier la structure topologique de l'espace hyperbolique, ou sa structure d'espace métrique, ou le concept de géodésique. En voici une[6] :

Définition — Dans un espace hyperbolique, et pour   deux points de cet espace, le segment   s'obtient en adjoignant   et   à celle des composantes connexes de   qui est relativement compacte dans l'espace hyperbolique.

La caractérisation métrique donnée ci-dessus en géométrie euclidienne est également valide en géométrie hyperbolique[7].

Segments dans le contexte des ensembles ordonnésModifier

Dans un ensemble totalement ordonné, le mot segment peut être utilisé comme synonyme d'intervalle délimité par deux points (au sens large).[réf. nécessaire]

Lorsqu'on l'applique à l'ensemble   des réels, cette définition est équivalente à la définition au moyen de barycentres.

RéférencesModifier

  1. Marc Troyanov, Cours de géométrie, PPUR, coll. « Polycopiés de l'EPFL », (ISBN 978-2-88074-817-3, lire en ligne), p. 5.
  2. Dany-Jack Mercier, Cours de géométrie : préparation au Capes et à l'agrégation, Publibook, (ISBN 978-2-74830556-2, lire en ligne), p. 41.
  3. Claude Delode, dans Géométrie affine et euclidienne, Dunod, 2002, (ISBN 2100046438), p. 7 utilise précisément cette définition.
  4. Claude Delode, op. cit. énonce cette proposition sous la forme d'une autre définition, p. 223.
  5. Cet énoncé est par exemple disponible sur le site Homeomath (pour le plan euclidien familier).
  6. C'est celle choisie par (en) Alan F. Beardon, The Geometry of Discrete Groups, Springer-Verlag, coll. « GTM » (no 91), (1re éd. 1983) (ISBN 978-1-46121146-4, lire en ligne), p. 135 (elle y est donnée dans le contexte de la géométrie plane).
  7. C'est le théorème 7.3.2 de Beardon 2012, p. 135.