Nombre pentagonal

nombre polygonal

En mathématiques, un nombre pentagonal est un nombre figuré qui peut être représenté par un pentagone. Pour tout entier n ≥ 1, d'après les formules générales pour les nombres polygonaux, le n-ième nombre pentagonal est donc la somme des n premiers termes de la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 3[1] :

Représentation des quatre premiers nombres pentagonaux : la représentation du n-ième s'obtient en entourant la précédente d'un pentagone comportant 3n – 2 nouveaux points.
Les quatre premiers nombres pentagonaux sont
1, 1 + 4 = 5, 5 + 7 = 12 et 12 + 10 = 22.

soit le tiers du (3n – 1)-ième nombre triangulaire et les dix premiers sont 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117 et 145 (suite A000326 de l'OEIS).

Les nombres pentagonaux sont importants dans la théorie des partitions d'entiers d'Euler et interviennent par exemple dans son théorème des nombres pentagonaux.

Test des nombres pentagonauxModifier

Un réel positif x est pentagonal si et seulement si l'équation du second degré 3n2n – 2x possède une solution entière n > 0, c'est-à-dire si le réel suivant est entier :

 

Lorsque n est entier, x est le n-ième nombre pentagonal.

Nombres pentagonaux généralisésModifier

Les nombres pentagonaux généralisés sont les nombres de la forme n(3n – 1)/2, mais avec n entier relatif, ou encore : les nombres de la forme n(3n ± 1)/2 avec n entier naturel. Les vingt premiers termes de cette suite d'entiers sont 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126 et 145 (suite A001318 de l'OEIS).

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pentagonal number » (voir la liste des auteurs).
  1. Jean Itard, Arithmétique et théorie des nombres, Paris, PUF, , 128 p. (ISBN 978-2130324300), p. 8.

Voir aussiModifier

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Article connexeModifier

Nombre pentagonal centré

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