Nombre Harshad

En mathématiques récréatives, un nombre Harshad, ou nombre de Niven, ou nombre multinumérique est un entier naturel qui est divisible par la somme de ses chiffres dans une base donnée. Le nom de Harshad leur a été donné par le mathématicien Dattatreya Ramachandra Kaprekar et signifie en sanskrit grande joie. L'appellation « de Niven » est un hommage au mathématicien Ivan Niven qui a publié un article et présenté une conférence en théorie des nombres sur leur sujet en 1977. En base b, tous les nombres de 0 à b et toutes les puissances de b sont des nombres Harshad.

Nombre Harshad en base dixModifier

En base dix, les vingt premiers nombres Harshad strictement supérieurs à 10 sont (suite A005349 de l'OEIS) :

12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80 et 81.

Les quotients obtenus se trouvent dans la suite  A113315 de l'OEIS.

Quels nombres peuvent être des nombres Harshad ?Modifier

En prenant le test de divisibilité par nombre 9, on pourrait être tenté de généraliser que tous les nombres divisibles par 9 sont aussi des nombres Harshad. Mais pour déterminer si n est Harshad, les chiffres de n ne peuvent être additionnés qu'une fois et n doit être divisible par cette somme ; sinon, ce n'est pas un nombre Harshad. Par exemple, 99, n'est pas un nombre Harshad, puisque 9 + 9 = 18 et 99 n'est pas divisible par 18.

Aucun nombre premier p strictement supérieur à 10 n'est Harshad. En effet, la somme de ses chiffres est strictement comprise entre 1 et p donc ne peut pas diviser p.

En base dix, les factorielles des nombres entiers inférieurs ou égaux à 431 sont des nombres Harshad. Le nombre 432! est la première factorielle à ne pas être un nombre Harshad. En voici quelques autres : 444!, 453!, 458!, 474!, 476!, 485!, 489!.

Nombres Harshad consécutifsModifier

Cooper et Kennedy ont démontré[1],[2] qu'en base dix, il existe 20 entiers consécutifs (dépassant 1044 363 342 786) qui sont tous des nombres Harshad, mais qu'il n'en existe pas 21.

Estimation de la densité des nombres HarshadModifier

Si l'on note N(x) le nombre de nombres Harshad inférieurs ou égaux à x, alors[3]

 

Nombre Harshad dans d'autres basesModifier

Un nombre Harshad en base b est souvent appelé un nombre b-Harshad (notation de Grundman 1994).

En base b comme en base dix, on a :

  • tous les entiers inférieurs ou égaux à b sont des nombres b-Harshad ;
  • aucun nombre premier strictement supérieur à b n'est b-Harshad ;
  • il existe une infinité de suites de 2b nombres b-Harshad consécutifs, pour b = 2 et pour b = 3 (ces deux résultats ont été prouvés par T. Tony Cai (en) en 1996).

Nombre complètement HarshadModifier

Un entier qui est un nombre Harshad dans toute base est dit complètement Harshad (ou complètement Niven) ; il existe seulement quatre nombres complètement Harshad, 1, 2, 4 et 6.

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Harshad number » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Curtis Cooper et Robert E. Kennedy, « On consecutive Niven numbers », Fibonacci Quart., vol. 31, no 2,‎ , p. 146-151 (zbMATH 0776.11003, lire en ligne).
  2. (en) Helen G. Grundman (en), « Sequences of consecutive Niven numbers », Fibonacci Quart., vol. 32,‎ , p. 174-175 (lire en ligne).
  3. (en) Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon et Imre Katái (hu), « On the counting function for the Niven numbers », Acta Arith., vol. 106, no 3,‎ , p. 265-275 (DOI 10.4064/aa106-3-5).

Lien externeModifier

(en) Eric W. Weisstein, « Harshad number », sur MathWorld