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Système duodécimal

Comptage duodécimal avec les phalanges.

Le système duodécimal ou dozénal ou base 12 est un système de numération qui utilise douze comme base. Autrement dit, dans ce système, on compte en douzaines et 10 représente donc le nombre douze.

Selon ses partisans, ce système est préférable au système décimal dominant qui utilise la base 10, notamment parce qu'il permet de diviser par 2, 3, 4, et 6 (au lieu de 2 et 5 seulement) .

DescriptionModifier

En base douze, on utilise les dix chiffres de 0 à 9, suivis les lettres A et B, respectivement pour 10 et 11. On utilise parfois aussi à la place de ces deux dernières, respectivement, les lettres α (alpha minuscule) et β (bêta minuscule), les lettres T (de l'anglais ten) et E (de l'anglais eleven), les lettres X (comme le chiffre romain) et Y (suit la lettre X), ou encore les chiffres culbutés ↊ (deux culbuté) et ↋ (trois culbuté).

Alors que le décompte de certaines quantités comme les œufs par douzaines est fréquent, l'utilisation d'un système en base 12 n'est pas courante. On en trouve pourtant un exemple pratique utilisé dans la langue du Népal. Dans le passé, les Romains, malgré le décompte en base dix, utilisaient le système duodécimal pour représenter les fractions.

HistoriqueModifier

Historiquement, le nombre douze a été utilisé par de nombreux peuples. En latin par exemple, il existe un grand nombre de noms (sans parler des adjectifs encore plus nombreux) pour désigner des ensembles de douze (duodecim[1]) unités[2], ce qui montre la familiarité du décompte par douze :

  • duodecajugum : attelage de douze coursiers ;
  • duodecas : douzaine ;
  • duodecennium : période de douze ans ;
  • duodecemvir : collège de douze magistrats ;
  • etc.

Des exemples de cet usage sont les 12 mois de l'année, les 12 heures d'une montre (découpage de la nuit et du jour en douze heures basé sur le décan en Égypte antique[3]), les 12 divisions traditionnelles du temps dans une journée en Chine, les 12 signes du zodiaque de l'astrologie, les 12 signes du zodiaque de l'astrologie chinoise, etc. Il s'utilise encore dans le commerce (douzaine, grosse[4] pour douze douzaines).

Certaines populations (Moyen-Orient, Roumanie, Égypte, etc.) connaissent ce système de longue date en comptant les phalanges de la main en omettant celles du pouce (qui est utilisé pour compter les phalanges des autres doigts). Ce qui donne bien le chiffre douze base de cette numération[5].

L'avantage d'une divisibilité en quotients entiers explique que les systèmes de mesure aient longtemps comporté des sous-multiples en douzièmes (12 pouces dans un pied, 12 pence dans un shilling, 12 deniers dans un sou, 12 pièces dans une douzaine, 12 douzaines dans une grosse, 12 grosses dans une grande grosse, etc.). À quelques rares exceptions près, dont celle notable des États-Unis d'Amérique, ces systèmes ont été abandonnés partout, au profit du système décimal. Le Royaume-Uni a, par exemple, adopté la décimalisation de sa monnaie, la livre sterling en 1971.

NotationModifier

Autre système de numération, duodécimal est similaire à sénaire, les deux sont divisibles par trois. Douze est quatre fois trois, six est deux fois trois. Dans une autre vue, duodécimal est similaire à vicésimal, les deux bases sont quatre fois un nombre impair. Douze est quatre fois trois, vingt est quatre fois cinq.

Décomposition de la notation
  • 1212 = 1410 (en effet, 1×12 + 2)
  • 2612 = 3010 (en effet, 2×12 + 6)
  • 3012 = 3610 = 1006 (en effet, 2×12 + 6)
  • 5012 = 6010 (en effet, 5×12)
  • 6912 = 8110 (en effet, 6×12 + 9)
  • 7612 = 9010 (en effet, 7×12 + 6)
  • 8512 = 10110 (en effet, 8×12 + 5)
  • 10012 = 14410 (en effet, 1×122)
  • 16012 = 21610 = 10006 (en effet, 1×122 + 6×121)
  • 1A612 = 27010 (en effet, 1×122 + 10×121 + 6)
  • 26512 = 36510 (en effet, 2×122 + 6×121 + 5)
  • 29412 = 40010 = 10020 (en effet, 2×122 + 9×121 + 4)
  • 40012 = 57610 (en effet, 4×122)
  • 57612 = 81010 (en effet, 5×122 + 7×121 + 6)
  • 6B412 = 100010 (en effet, 6×122 + 11×121 + 4)
  • 90012 = 129610 = 100006 (en effet, 9×122)
  • 100012 = 172810 (en effet, 1×123)
  • 11A812 = 200010 (en effet, 1×123 + 1×122 + 10×121 + 8)
  • 245412 = 409610 = 100016 (en effet, 2×123 + 4×122 + 5×121 + 4)
  • 396912 = 656110 = 100009 (en effet, 3×123 + 9×122 + 6×121 + 9)
  • 460012 = 777610 = 1000006 (en effet, 4×123 + 6×122)
  • 476812 = 800010 = 100020 (en effet, 4×123 + 7×122 + 6×121 + 8)
  • 500012 = 864010 (en effet, 5×123)
  • 789A12 = 1336610 (en effet, 7×123 + 8×122 + 9×121 + 10)
  • 1000012 = 2073610 (en effet, 1×124)
  • 2300012 = 4665610 = 10000006 (en effet, 2×124 + 3×123)
Exemples d'opérations arithmétiques
Sénaire Décimal Duodécimal Vicésimal
140 + 50 = 230 60 + 30 = 90 50 + 26 = 76 30 + 1A = 4A
3430 - 213 = 3213 810 - 81 = 729 576 - 69 = 509 20A - 41 = 1G9
13132 - 140 = 12552 2000 - 60 = 1940 11A8 - 50 = 1158 500 - 30 = 4H0
1130 × 52 = 104000 270 × 32 = 8640 1A6 × 28 = 5000 DA × 1C = 11C0
2400 ÷ 13 = 144 576 ÷ 9 = 64 400 ÷ 9 = 54 18G ÷ 9 = 34
3430 ÷ 13 = 230 810 ÷ 9 = 90 576 ÷ 9 = 76 20A ÷ 9 = 4A
220 = 30544 212 = 4096 210 = 2454 2C = A4G

PuissanceModifier

  • Sénaire : 10 = 2×3
  • Décimal : 10 = 2×5
  • Duodécimal : 10 = 4×3 = 22×3
  • Vicésimal : 10 = 4×5 = 22×5
Puissance de douze par la notation duodécimal
Exposant Duodécimal Equivalent en sénaire Equivalent en décimal Equivalent en vicésimal
1 douze (ou une douzaine) : 10 20 12 C
2 une grosse : 100 202 = 400 122 = 144 C2 = 74
3 une grande grosse : 1 000 203 = 12 000 123 = 1 728 C3 = 468
4 douze grandes grosses : 10 000 204 = 240 000 124 = 20 736 C4 = 2 BGG
5 100 000 205 = 5 200 000 125 = 248 832 C5 = 1B 21C
6 1 000 000 2010 = 144 000 000 126 = 2 985 984 C6 = ID 4J4
7 10 000 000 2011 = 3 320 000 000 127 = 35 831 808 C7 = B3I JA8
8 100 000 000 2012 = 110 400 000 000 128 = 429 981 696 C8 = 6 E77 E4G
9 1 000 000 000 2013 = 2 212 000 000 000 129 = 5 159 780 352 C9 = 40 C8C AHC
A 10 000 000 000 2014 = 44 2400 0000 0000 1210 = 61 917 364 224 CA = 287 93A AB4
B 100 000 000 000 2015 = 1325 2000 0000 0000 1211 = 743 008 370 688 CB = 1 909 A26 6E8
10 1 000 000 000 000 2020 = 30 544 000 000 000 000 1212 = 8 916 100 448 256 CC = H 85E 17G 0CG
-1 0,1 0,03 1/12 1/C
-2 0,01 0,0013 1/144 1/74
-3 0,001 0,000043 1/1728 1/468

FractionsModifier

Certaines fractions s'expriment de manière très simple dans le système duodécimal, par exemple :

  • 1 / 2 = 0,6
  • 1 / 3 = 0,4
  • 1 / 4 = 0,3
  • 1 / 6 = 0,2
  • 1 / 8 = 0,16
  • 1 / 9 = 0,14

D'autres s'expriment de manière plus compliquée (A = dix, B = onze) :

  • 1 / 5 = 0,2497 2497 avec chiffres périodiques (nombre que l'on peut arrondir à 0,25)
  • 1 / 7 = 0,186A35 186A35 avec chiffres périodiques
  • 1 / A = 0,1 2497 2497 avec chiffres périodiques (nombre que l'on peut arrondir à 0,125)
  • 1 / B = 0,1 1 avec chiffres périodiques

Quelle que soit la base utilisée, une fraction irréductible peut s'exprimer en numération de position avec un nombre fini de chiffres si et seulement si tous les facteurs premiers du dénominateur sont des diviseurs de cette base.

Fraction principale
  • 1 / 2 = 0,6
  • 1 / 3 = 0,4
  • 2 / 3 = 0,8
  • 1 / 4 = 0,3
  • 3 / 4 = 0,9
  • 1 / 5 = 0,2497…
  • 2 / 5 = 0,4927…
  • 3 / 5 = 0,7249…
  • 4 / 5 = 0,9724…
Exemple de calcul
  • Décimal 1/3 indivisible
    • Décimal : 100 ÷ 3 = 33,3333…
    • Duodécimal : 84 ÷ 3 = 29,4
  • Hexadécimal 1/3 indivisible
    • Hexadécimal : 100 ÷ 3 = 55,5555…
    • Duodécimal : 194 ÷ 3 = 71,4
  • Décimal 1/9 indivisible
    • Décimal : 100 ÷ 9 = 11,11111…
    • Duodécimal : 84 ÷ 9 = B.14
  • Hexadécimal 1/9 indivisible
    • Hexadécimal : 100 ÷ 9 = 1C,71C…
    • Duodécimal : 194 ÷ 9 = 24,54
Fraction équivalente de duodécimal et sénaire
Notation décimal Fraction duodécimal Décimale en duodécimal Equivalent en sénaire Fraction sénaire
1/2 1/2 0,6 0,3 1/2
1/3 1.3 0,4 0,2 1/3
1/4 1/4 0,3 0,13 1/4
1/6 1/6 0,2 0,1 1/10
1/8 1/8 0,16 0,043 1/12
1/9 1/9 0,14 0,04 1/13
1/12 1/10 0,1 0,03 1/20
1/16 1/14 0,09 0,0213 1/24
1/18 1/16 0,08 0,02 1/30
1/24 1/20 0,06 0,013 1/40
1/27 1/23 0,054 0,012 1/43
1/32 1/28 0,046 0,01043 1/52
1/36 1/30 0,04 0,01 1/100
1/48 1/40 0,03 0,0043 1/120
1/54 1/46 0,028 0,004 1/130
1/64 1/54 0,023 0,003213 1/144
1/72 1/60 0,02 0,003 1/200
1/81 1/69 0,0194 0,0024 1/213
1/96 1/80 0,016 0,00213 1/240
1/108 1/90 0,014 0,002 1/300
1/128 1/A8 0,0116 0,0014043 1/332
1/144 1/100 0,01 0,0013 1/400
1/162 1/116 0,00A8 0,0012 1/430
1/192 1/140 0,009 0,001043 1/520
1/216 1/160 0,008 0,001 1/1000
1/243 1/183 0,00714 0,00052 1/1043
1/256 1/194 0,0069 0,00050213 1/1104
1/288 1/200 0,006 0,00043 1/1200
1/432 1/300 0,004 0,0003 1/2000
1/486 1/346 0,00368 0,00024 1/2130
1/512 1/368 0,00346 0,000231043 1/2212
1/576 1/400 0,003 0,000213 1/2400
1/648 1/460 0,0028 0,0002 1/3000
1/729 1/509 0,002454 0,000144 1/3213
1/864 1/600 0,002 0,00013 1/4000
1/972 1/690 0,00194 0,00012 1/4300
1/1152 1/800 0,0016 0,0001043 1/5200
1/1296 1/900 0,0014 0,0001 1/10000
1/1458 1/A16 0,001228 0,000052 1/10430
1/1728 1/1000 0,001 0,000043 1/12000
1/1944 1/1160 0,000A8 0,00004 1/13000
1/2187 1/1323 0,0009594 0,0000332 1/14043
1/4096 1/2454 0,000509 0,000015220213 1/30544
1/6561 1/3969 0,00031B14 0,00001104 1/50213

fraction décimale et fraction duodécimaleModifier

Ainsi, en base dix (= 2 × 5), les fractions dont les dénominateurs sont constitués de multiples de 2 ou 5 sont finies :

 ,
 ,

et

  =  

peuvent être exprimées exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule comme 0,125, 0,05, et 0,002 respectivement. Cependant,

  et  

donnent les répétitions 0,333... et 0,142857 142857...

Dans le système duodécimal (= 2×2×3) :

1 / 8 s'exprime exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule ;
1 / 20 et 1 / 500 nécessitent une répétition périodique de chiffres après la virgule parce que leurs dénominateurs incluent 5 dans leur décomposition ;
1 / 3 s'exprime exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule ;
1 / 7 nécessite une répétition périodique de chiffres après la virgule, comme en base dix.

On peut argumenter que les facteurs de 3 sont plus facilement rencontrés dans la vraie vie que ceux de 5 lors des divisions. Mais en pratique, la gêne occasionnée par la périodicité des fractions est moins courante lorsque le système duodécimal est utilisé.

Cela est particulièrement vrai dans les calculs financiers, lorsque les 12 mois de l'année entrent en ligne de compte dans les calculs. Bien que 1/3 et 1/9 soient divisibles, duodécimal est moins pratique que sénaire lorsque nous divisons par de grandes puissances de trois. Par exemple, le chiffre approximatif de annuel (2/3-6. 2/3213 sénaire ou 2/509 duodécimal) est 0,000332 en sénaire (332 / 1,000,000 → 332 = 211 en sénaire), mais 0,0048A8 en duodécimal (101,532 / 144,000,000 → 101,532 = 221 en sénaire).

Plaidoyer du dozénalismeModifier

Il existe deux organismes la Dozenal Society of America et la Dozenal Society of Great Britain qui font la promotion du système duodécimal en affirmant qu'un système en base 12 est meilleur que le système décimal tant d'un point de vue mathématique que pour d'autres côtés pratiques. En effet 2, 3, 4, 6 sont des diviseurs de 12, ce qui facilite la mise en fraction. Comparé aux diviseurs 2 et 5 du système décimal, le système duodécimal offre plus de possibilités.

Un temps dozénal (ou duodécimal) et son horloge[6] ont également été proposés.

NotesModifier

  1. Outre sa signification numérique, le terme duodecim est une métonymie utilisée pour désigner la Loi des douze tables, le fondement du droit romain.
  2. Dictionnaire Gaffiot, p. 569
  3. Jean-Pierre Verdet, Histoire de l'astronomie ancienne et classique, Presses universitaires de France, , p. 16.
  4. Grosse sur le wiktionnaire
  5. Dirk Huylebrouck, Afrique et Mathématiques, Asp, Vubpress, Upa, , p. 67
  6. dozenalsociety

BibliographieModifier

  • (en) Karl Pentzlin, Proposal to encode Duodecimal Digit Forms in the UCS, (lire en ligne)