Polynôme de Legendre

suite de polynômes orthogonaux

En mathématiques et en physique théorique, les polynômes de Legendre constituent l'exemple le plus simple d'une suite de polynômes orthogonaux. Ce sont des solutions polynomiales Pn(x), sur l'intervalle x ∈ [–1, 1], de l'équation différentielle de Legendre :

Polynômes de Legendre
,

dans le cas particulier où le paramètre n est un entier naturel.

De façon équivalente, les polynômes de Legendre sont les fonctions propres de l'endomorphisme de ℝ[X] défini par :

,

pour les valeurs propres .

Ces polynômes orthogonaux ont de nombreuses applications tant en mathématiques, par exemple pour la décomposition d'une fonction en série de polynômes de Legendre, qu'en physique, où l'équation de Legendre apparaît naturellement lors de la résolution des équations de Laplace ou de Helmholtz en coordonnées sphériques.

Définitions et propriétés généralesModifier

Définition en tant que solution de l'équation de LegendreModifier

On appelle équation de Legendre l'équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2[1] :

 ,

avec en général  [note 1]. On trouve les solutions non nulles de cette équation sous forme de séries entières en utilisant la méthode de Frobenius. D'après le théorème de Fuchs, puisque les seuls points singuliers de cette équation sont 1 et –1[note 2], le rayon de convergence d'une telle série vaut au moins 1. Si α n'est pas entier, ce rayon est exactement égal à 1 car la série ne peut pas converger à la fois en 1 et en –1[note 3].

En revanche[note 4], si α est un entier naturel, une (et une seule) de ces séries entières converge sur [–1, 1] et vaut 1 au point 1 (cette solution est alors polynomiale, de degré α et de même parité que cet entier).

On peut donc définir le polynôme de Legendre Pn (pour tout entier naturel n) comme l'unique solution définie en 1 et –1 du problème de Cauchy[2] :

 

Définition en tant que fonctions propres d'un endomorphismeModifier

De façon plus abstraite, il est possible de définir les polynômes de Legendre Pn comme les fonctions propres pour les valeurs propres n(n+ 1), avec n entier, de l'endomorphisme défini sur  :

 .

Cette définition plus abstraite est intéressante notamment pour démontrer les propriétés d'orthogonalité des polynômes de Legendre (voir infra).

Fonction génératriceModifier

On peut aussi définir cette suite de polynômes par sa série génératrice :

 .

Cette expression intervient notamment en physique, par exemple dans le développement à grande distance du potentiel électrostatique ou gravitationnel (développement multipolaire).

Si l'on considère qu'en général z est complexe, le calcul des coefficients de la série de Laurent donne alors :

 

où le contour entoure l'origine et est pris dans le sens trigonométrique.

Il est possible de définir les polynômes de Legendre par cette fonction génératrice, comme les coefficients de l'expansion.

Autres définitionsModifier

Formule de récurrence de BonnetModifier

Cette formule permet rapidement d'obtenir l'expression du polynôme de Legendre d'ordre (n + 1) à partir de ceux d'ordres n et (n – 1).

Pour tout entier n ≥ 1 :

 

avec P0(x) = 1 et P1(x) = x. Elle se démontre facilement à partir de la fonction génératrice.

OrthogonalitéModifier

Les polynômes de Legendre sont aussi caractérisés — à normalisation près par la condition Pn(1) = 1 — par le fait que Pn est de degré n et pour tous entiers distincts m, n,

 .

Autrement dit, les polynômes de Legendre sont deux à deux orthogonaux par rapport au produit scalaire   défini sur   par la relation :

 .

Formule de RodriguesModifier

Le polynôme Pn(x) peut également être défini par la formule de Rodrigues :

 .

On déduit cette égalité de la caractérisation précédente[3], en vérifiant d'une part (par intégrations par parties répétées) que   est orthogonal à  , et d'autre part (par la règle de Leibniz) que la valeur en 1 de   est  .

Définitions sous forme de sommeModifier

On définit ce polynôme de deux façons sous forme de somme :

 

(on en déduit  )

 

où on a utilisé :

 

Quelques polynômesModifier

Les onze premiers polynômes sont :

 
Les 20 premiers polynômes de Legendre
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PropriétésModifier

DegréModifier

Le polynôme Pn est de degré n.

Coefficient dominantModifier

Le coefficient dominant de Pn est  .

BaseModifier

Pour tout entier naturel N, la famille   étant une famille de polynômes à degrés étagés, elle est une base de l'espace vectoriel  .

ParitéModifier

Le polynôme Pn a même parité que l'entier n. On peut exprimer cette propriété par :

 

(en particulier,   et  ).

NormeModifier

Le carré de la norme, dans L2([–1, 1]), est[4]

 .

Scindé à racines simplesModifier

Pour tout entier n ≥ 1, le polynôme Pn est scindé à racines simples, toutes ses racines appartenant à l'intervalle ]–1, 1[ (c'est une propriété générale des suites de polynômes orthogonaux, qui se déduit classiquement de la définition ci-dessus par orthogonalité et degré).

Théorème d'additionModifier

Si 0 ≤ ψ1 < π, 0 ≤ ψ2 < π, ψ1 + ψ1 < π et ϕ un réel quelconque, alors

 

ce qui est équivalent à

 

On a aussi

 

sous l'hypothèse que 0 ≤ ψ1 < ψ2.

Lien avec l'équation de LaplaceModifier

L'équation différentielle qui définit les polynômes de Legendre est naturellement liée à l'équation de Laplace Δf = 0, écrite en coordonnées sphériques, qui intervient notamment en électrostatique. En effet, lors de la recherche d'une solution ne dépendant pas de l'angle d’azimut φ sous la forme d'un produit f(r,θ) = A(r)B(θ) de deux fonctions d'une seule variable, l'équation vérifiée par B ainsi obtenue est de la forme :

 ,

n(n + 1) est la constante de séparation. Le changement de variable x = cos θ permet de vérifier que B suit l'équation de Legendre[5]. Les seules solutions physiquement acceptables, c'est-à-dire qui ne divergent pas pour x → ±1 sont alors celles pour lesquelles n est entier, donc les polynômes de Legendre[note 5].

Décomposition en série de polynômes de LegendreModifier

Décomposition d'une fonction holomorpheModifier

Toute fonction f, holomorphe à l'intérieur d'une ellipse de foyers -1 et +1, peut s'écrire sous la forme d'une série qui converge uniformément sur tout compact à l'intérieur de l'ellipse :

 

avec  

Décomposition d'une fonction lipschitzienneModifier

On note   le quotient du polynôme Pn par sa norme.

Soit f une application continue sur [–1, 1]. Pour tout entier naturel n, on pose

 

Alors la suite (cn(f)) est de carré sommable, et permet d'expliciter le projeté orthogonal de f sur   :

 

On a de plus :

  1.  , avec le noyau  
  2.  

Supposons de plus que f est une fonction lipschitzienne. On a alors la propriété supplémentaire :[réf. souhaitée]

 

Autrement dit, l'égalité

 

est vraie non seulement au sens L2 mais au sens de la convergence simple sur ]–1, 1[.

Intégration numérique d'une fonctionModifier

Afin de calculer numériquement l'intégrale d'une fonction sur l'intervalle [–1, 1], l'une des méthodes les plus populaires est la méthode de quadrature de Gauss-Legendre fondée sur les propriétés des polynômes de Legendre. Elle prend la forme :

 

avec :

  •   l'ensemble des zéros du polynôme de Legendre Pn ;
  •   les poids respectifs :  .

En particulier, la formule[6] à l'ordre n est exacte pour toute fonction polynomiale de degré 2n – 1.

Applications en physiqueModifier

Les polynômes de Legendre, tout comme ceux d'Hermite ou de Laguerre, apparaissent dans diverses branches de la physique ou du calcul numérique car ils permettent le calcul d'intégrales définies sans qu'il soit nécessaire de les évaluer analytiquement, à condition toutefois que par un changement de variable adéquat, on se place dans l'intervalle d'intégration [−1, 1].

Les polynômes de Legendre permettent de développer en série les fonctions du type (cette formule se déduit directement de la fonction génératrice) :

 

r et r' sont les normes des vecteurs   et  , respectivement, et   est l'angle entre ceux-ci. Un tel développement est utilisé par exemple dans l'étude du dipôle électrique ou de façon plus générale dans l'expression du champ électrique ou gravitationnel à grande distance d'une distribution continue de charge ou de masse (développement multipolaire).

Les polynômes de Legendre apparaissent également dans la résolution de l'équation de Laplace   pour le potentiel électrique V dans une région vide de charges, en coordonnées sphériques, dans le cas d'un problème présentant une symétrie axiale (V est alors indépendant de ϕ), procédant par la méthode de séparation des variables. La solution de l'équation de Laplace se met alors sous la forme :

 

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. Alors, sans perte de généralité,  , puisque   pour  .
  2. En effet, l'équation différentielle se met sous la forme  , avec   et  .
  3. En effet, les coefficients   d'une telle série entière vérifient la relation de récurrence  , or   donc d'après le critère de Gauss (corollaire de celui de Kummer), chacune des deux sommes   et   est infinie sauf si son premier terme est nul (auquel cas tous ses termes sont nuls), si bien que   ou   est infinie (puisqu'on a exclu la solution nulle).
  4. D'après la relation de récurrence précédente.
  5. Le cas plus général où l'on cherche, par séparation des variables, les solutions de la partie angulaire de l'équation de Laplace dépendant à la fois de θ et ϕ, permet d'introduire les polynômes associés de Legendre, étroitement liés aux harmoniques sphériques.

RéférencesModifier

  1. L'étude ci-dessous de cette équation constitue — aux notations près, le α de cette source désignant notre α(α + 1) — le problème 9.3 de Yves Leroyer et Patrice Tesson, Exercices et problèmes de mathématiques pour l'ingénieur : Rappels de cours, corrigés détaillés, méthodes, Dunod, (lire en ligne) (énoncé p. 225 et corrigé p. 233, 234 et 235).
  2. « Equation de Legendre », sur bibmath.net (consulté le ).
  3. Voir par exemple C. Bernardi, Y. Maday et F. Rapetti, Discrétisations variationnelles de problèmes aux limites elliptiques, Springer, (lire en ligne), p. 35.
  4. Démontré par exemple dans la question II.2.c du sujet de CAPES 1989 et dans Bernardi, Maday et Rapetti 2004, p. 36 (corollaire 2.7).
  5. Murray R. Spiegel (en), Analyse de Fourier et application aux problèmes de valeurs aux limites : 205 exercices résolus, Série Schaum, , 200 p. (ISBN 978-2-7042-1019-0), chap. 7 (« Les fonctions de Legendre et leurs applications »), p. 138-142.
  6. On trouvera une table pour les cinq premières formules dans (en) Eric W. Weisstein, « Legendre-Gauss quadrature », sur MathWorld.

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

BibliographieModifier

Liens externesModifier

Sujet de CAPES 1989 et corrigé