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Convergence uniforme

Mode de convergence "régulière" d'une suite de fonctions
Suite de fonctions convergeant uniformément vers la fonction valeur absolue.

La convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. La convergence devient uniforme quand toutes les suites avancent vers leur limite respective avec une sorte de « mouvement d'ensemble ».

Dans le cas de fonctions numériques d'une variable, la notion prend une forme d'« évidence » géométrique : le graphe de la fonction fn se « rapproche » de celui de la limite.

DéfinitionModifier

Convergence uniformeModifier

Soient X un ensemble[1], (Y, d) un espace métrique, et A un sous-ensemble de X. Soient   une suite de fonctions définies sur X et à valeurs dans Y, et f une fonction définie sur X à valeurs dans Y. On dit que la suite (fn)n converge uniformément vers f sur A si :

 .

Remarque : en introduisant la notation

 

(dans laquelle la borne supérieure peut a priori être infinie), la propriété (1) est équivalente à :

 .

Autrement dit, (fn)n converge uniformément vers f sur A si et seulement si

 .
  n'est en général pas une distance[2] sur l'ensemble des fonctions de X dans Y.

Quelques explicationsModifier

On peut se demander a posteriori quelle est la différence entre la convergence simple d'une suite de fonctions et la convergence uniforme. En effet, la suite de fonctions (fn)n converge simplement vers f sur A si :

 .

Ici, l'indice   dépend de   alors que dans la proposition  , l'indice   n'en dépend pas. Cette différence peut paraître anodine mais elle est pourtant essentielle :

  • Dans le cas de la convergence simple, pour tout élément x de A, on peut trouver un rang à partir duquel la distance   devient très petite. A priori, si l'on choisit un y dans A autre que x alors le rang à partir duquel la distance   devient très petite peut être différent.
  • Dans le cas de la convergence uniforme, on peut trouver un rang à partir duquel la distance   devient très petite pour n'importe quel   à la fois. Cette condition est donc beaucoup plus forte. En particulier, une suite de fonctions qui converge uniformément sur un ensemble converge simplement sur celui-ci. La réciproque est en général fausse sauf dans des cas très particuliers (voir Théorèmes de Dini).

Ainsi la suite des fonctions   converge simplement mais pas uniformément sur ]–1, 1[, un problème survenant aux bords de l'intervalle.

Critère de Cauchy uniformeModifier

Supposons que l'espace métrique (Y, d) est complet.

(C'est le cas de bon nombre d'espaces métriques usuels, comme la droite réelle munie de sa valeur absolue ou, plus généralement, les espaces de Banach.)

Sous cette hypothèse, une suite de fonctions (fn)n converge uniformément sur A si (et seulement si) elle vérifie le critère de Cauchy uniforme, à savoir :

 .

Comme dans le cas des suites de Cauchy, il n'est pas nécessaire d'exhiber la fonction vers laquelle tend une suite de fonctions pour montrer que la convergence est uniforme. En outre, lorsque A est muni d'une topologie pour laquelle les fn sont continues, le critère est vérifié sur A dès qu'il l'est sur une partie dense de A.

Convergence uniforme de fonctions continuesModifier

 
Exemple : la limite simple (en rouge) des fonctions continues (en vert) fn(x) = sinn(x) est discontinue donc la convergence n'est pas uniforme.

On a le résultat fondamental suivant :

Si (fn)n est une suite de fonctions continues convergeant uniformément sur X vers une fonction f alors f est continue sur X.

Ou encore (par contraposition) une fonction discontinue ne peut pas être limite uniforme de fonctions continues.

Ceci s'applique en particulier aux fonctions continues sur ℕ ∪ {∞} (dans lequel ℕ est dense), c'est-à-dire aux suites convergentes : dans un espace complet, si chaque xn est une suite convergente et si la suite de suites (xn)n converge uniformément vers une suite x, alors cette suite x est convergente.

Quand X n'est pas compact, la convergence uniforme est un phénomène rare. Par exemple,   converge uniformément sur tout compact (en) de ℂ vers ez quand l'entier n tend vers l'infini, mais pas sur ℂ ; une série entière de rayon de convergence R converge uniformément sur tout compact contenu dans le disque ouvert de centre 0 et de rayon R, mais on ne peut pas dire mieux en général.

En fait, la continuité étant une propriété locale, la convergence uniforme sur « suffisamment » de parties de X suffit à assurer la continuité de la fonction limite.

Exemples

  • Lorsque X est localement compact, si une suite (fn)n de fonctions continues converge vers une fonction f uniformément sur tout compact de X alors f est continue.
  • On a la même conclusion lorsque X est un espace métrique et a un point arbitraire fixé de X, si la convergence uniforme a lieu sur toute boule fermée de centre a. C'est ainsi que l'on démontre par exemple la continuité de la fonction exponentielle dans une algèbre de Banach.

Le résultat suivant, moins fort que le théorème de convergence dominée, est aussi beaucoup moins difficile à montrer.

Si X = [a,b] est un intervalle de ℝ, si Y = ℝ ou Y = ℂ, et si une suite de fonctions (fn)n intégrables converge uniformément vers une fonction f, alors f est intégrable et

 .

Son utilisation est à la base du résultat suivant d'analyse complexe :

Soit (fn)n une suite de fonctions holomorphes sur un ouvert U de ℂ, convergeant uniformément sur tout compact de U vers une fonction f. Alors f est holomorphe.

On notera également l'existence du résultat suivant, assurant la convergence d'une suite de fonctions à partir de celle de leurs dérivées[3],[4] :

Soit   une suite de fonctions dérivables de   dans ℝ, convergeant en un point de  . Si la suite   des dérivées converge uniformément vers une fonction φ, alors la suite   converge uniformément et sa limite est dérivable, de dérivée égale à φ.

Distance uniformeModifier

Dans le cas général, on munit l'ensemble YX des applications de X dans Y de la distance uniforme sur X, définie par

 

où, rappelons-le,

 .

On peut alors reformuler l'essentiel de ce qui précède :

  • Définition de la convergence uniforme : (fn)n converge uniformément vers f sur X si et seulement si   dans l'espace métrique  .
  • Critère de Cauchy uniforme : si (Y,d) est complet alors   l'est aussi.
  • Convergence uniforme de fonctions continues : si X est muni d'une topologie, le sous-ensemble   des applications continues est fermé dans   (donc est complet si Y l'est).

Diverses hypothèses sur les espaces X et Y peuvent simplifier ou enrichir cette situation :

  • Si X est un espace compact alors sur  , l'application   est déjà une distance (sur ce sous-espace, elle ne prend que des valeurs finies), et est uniformément équivalente à  .
  • Si de plus Y est un espace vectoriel normé (dont la distance d est celle associée à la norme ║ ║ par :  ), alors   est un espace vectoriel, sur lequel la distance   est, elle aussi, associée à une norme, définie par : .En particulier si Y est un espace de Banach alors   aussi.

Critères de convergence uniforme pour les sériesModifier

Dans cette section, il n'est envisagé que le cas des fonctions réelles d'une variable réelle.

On trouve dans la littérature[5] la mention de nombreux tests de convergence uniforme portant les noms d'Abel, de Dedekind, de du Bois-Reymond, de Dirichlet, de Weierstrass… Ces critères sont des critères pratiques, cas particuliers de la formule de sommation partielle d'une série, plus faciles à appliquer.

Critère de WeierstrassModifier

«  La série   converge uniformément dans l'intervalle I si les fonctions   sont chacune majorées en valeur absolue sur l'intervalle I par un nombre   et que la série   est convergente. »

On dit dans ce cas que l'on a une série normalement convergente.

Critère d'AbelModifier

« La série   converge uniformément dans l'intervalle I si la série   converge uniformément dans I, si de plus, pour toute valeur fixée de x, la suite   est monotone et enfin s'il existe un nombre K indépendant de x qui majore   pour tout x de I et tout n. »

On exprime cette dernière condition en disant que les fonctions   sont uniformément bornées dans I.

Critère de DirichletModifier

« La série   converge uniformément dans l'intervalle I si les sommes partielles de la série   sont uniformément bornées dans I et si les fonctions   convergent uniformément dans I vers 0, la convergence étant monotone pour tout x fixé. »

Critère de DedekindModifier

« La série   converge uniformément dans l'intervalle I si la série   admet des sommes partielles uniformément bornées, les fonctions   tendent vers 0 uniformément dans I et que la série   converge uniformément dans I. »

Critère de du Bois-ReymondModifier

«  La série   converge uniformément dans l'intervalle I si les séries   et   convergent uniformément dans I, les fonctions   étant de plus uniformément bornées dans I. »

Un autre critèreModifier

«  La série   converge uniformément dans l'intervalle I si les séries   et   convergent uniformément dans I, les fonctions   étant de plus uniformément bornées dans I. »

dont un corollaire immédiat est

«  La série   converge uniformément dans l'intervalle I si la série   converge uniformément dans I, les fonctions   étant positives et les fonctions   étant uniformément bornées dans I. »

Espace des fonctions numériques continues sur [a, b]Modifier

On choisit dans cette section X = [a, b] un intervalle compact de ℝ et Y = ℝ. Puisque ℝ muni de la valeur absolue est complet, il en résulte que l'espace vectoriel normé   muni de la norme   est complet.

Théorème de WeierstrassModifier

Le théorème d'approximation de Weierstrass affirme qu'on peut approcher de manière uniforme n'importe quelle fonction numérique continue sur [a, b] par une suite de fonctions très régulières à savoir par des polynômes. Plus précisément, si f est une fonction continue sur [a, b] alors :

 

où ℝ[X] désigne l'ensemble des polynômes à coefficients réels.

ExemplesModifier

Exemples de suites de fonctionsModifier

La suite de fonctions puissancesModifier

 
La convergence sur ]–1, 1] de la suite des fonctions puissances n'est pas uniforme.
 
La convergence sur [–1/2, 1/2] de la suite des fonctions puissances est uniforme.

On considère la suite de fonctions  . Cette suite de fonctions converge simplement sur ]–1, 1] vers la fonction f définie par

 

Puisque les fonctions de la suite sont continues et que la limite simple f n'est pas continue (en 1), la convergence n'est pas uniforme sur ]–1, 1]. Par densité, elle ne l'est donc pas non plus sur ]–1, 1[.

Par contre, la convergence est uniforme sur tout segment [–a, a] avec 0 ≤ a < 1 puisque

 

qui converge vers 0 lorsque n tend vers +∞.

Exemples de séries de fonctionsModifier

La série de fonctions puissancesModifier

On considère la série de fonctions   définie par

 .

La série numérique   converge si et seulement si  . De plus, la somme partielle est

 .

Ainsi, cette suite de fonctions converge simplement sur   vers la fonction S définie par

 .

La convergence n'est pas uniforme sur   : en effet, le reste d'ordre n est

 .

Notes et référencesModifier

  1. En particulier, la définition de la convergence uniforme fait sens même si l'espace de départ n'est pas muni d'une structure topologique. Cependant certaines propriétés phares de la convergence uniforme concernent des situations où l'espace de départ est nécessairement muni d'une topologie, par exemple la conservation de la continuité par passage à la limite.
  2. Les deux obstacles sont :
    • que cette fonction peut prendre des valeurs infinies (on y remédiera facilement en la remplaçant par exemple par  ) ;
    • qu'elle peut s'annuler sans que les deux fonctions soient égales sur X tout entier (  est donc seulement un écart ; ce n'est une distance que si A = X).
  3. (en) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, , 3e éd. (1re éd. 1953) (lire en ligne), p. 152, th. 7.17.
  4. (en) Roger Godement, Analyse mathématique, vol. 1 : Convergence, fonctions élémentaires, Springer, , 2e éd. (1re éd. 1998) (lire en ligne), p. 280, th. 19.
  5. Voir par exemple (de) Konrad Knopp, Theorie und Andwendung der unendlichen Reihen, 1922 (ou sa traduction, (en) Knopp, Theory and Application of Infinite Series, 1954).

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

BibliographieModifier

Gilbert Arsac, Cauchy, Abel, Seidel, Stokes et la convergence uniforme - De la difficulté historique du raisonnement sur les limites, Hermann, 2013