Rayon de convergence

Borne supérieure des modules pour lesquels une série entière complexe est convergente

Le rayon de convergence d'une série entière est le nombre réel positif ou +∞ égal à la borne supérieure de l'ensemble des modules des nombres complexes où la série converge (au sens classique de la convergence simple):

PropriétésModifier

Si R est le rayon de convergence d'une série entière, alors la série est absolument convergente sur le disque ouvert D(0, R) de centre 0 et de rayon R. Ce disque est appelé disque de convergence. Cette convergence absolue entraine ce qui est parfois qualifié de convergence inconditionnelle : la valeur de la somme en tout point de ce disque ne dépend pas de l'ordre des termes. Par exemple, on a :

  •   ;
  •  , où   et   sont les rayons de convergence des deux séries entières (voir Produit de Cauchy).

Si la série entière   a pour rayon de convergence R, alors :

  • la convergence est même normale (donc uniforme) sur tout compact inclus dans D(0, R) ;
  • pour tout complexe z tel que |z| > R, la série diverge grossièrement ;
  • pour tout complexe z tel que |z| = R, la série peut soit diverger, soit converger ;
  • le rayon R est donné par le théorème de Cauchy-Hadamard :  , où lim sup désigne la limite supérieure ;
  • si R est non nul, alors la somme f de la série entière est une fonction holomorphe sur D(0, R), où l'on a
      ;
  • si le rayon R est infini, alors la série entière est appelée fonction entière.