Règle de Raabe-Duhamel

énoncé mathématique

En mathématiques, la règle de Raabe-Duhamel est un théorème permettant d'établir la convergence ou la divergence de certaines séries à termes réels strictement positifs, dans le cas où une conclusion directe est impossible avec la règle de d'Alembert. Elle tire son nom des mathématiciens Joseph Raabe et Jean-Marie Duhamel.

ÉnoncéModifier

Règle de Raabe-Duhamel[1] — Soit   une suite de réels strictement positifs.

  • Si (à partir d'un certain rang)  , alors   diverge.
  • S'il existe   tel que (à partir d'un certain rang)  , alors   converge.

Cette règle est un corollaire immédiat[2] de celle de Kummer (section ci-dessous).

Dans le cas particulier où la suite   admet une limite réelle α, ce qui équivaut à

 ,

la règle de Raabe-Duhamel garantit que :

  • si α < 1,   diverge ;
  • si α > 1,   converge.

Si α = 1, l'exemple de la série de Bertrand montre que l'on ne peut pas conclure.

ExempleModifier

Soient  . La série de terme général   est divergente si   et convergente si  [3]. En effet :  .

Règle de KummerModifier

La règle de Kummer peut s'énoncer comme suit[4],[5] :

Soient (un) et (kn) deux suites strictement positives.

  • Si ∑1/kn = +∞ et si, à partir d'un certain rang, knun/un+1kn+1 ≤ 0, alors un diverge.
  • Si lim inf (knun/un+1kn+1) > 0, alors un converge.

Henri Padé a remarqué en 1908[6] que cette règle n'est qu'une reformulation des règles de comparaison des séries à termes positifs[2].

Un autre corollaire de la règle de Kummer est celle de Bertrand[7] (en prenant kn = n ln(n)), dont le critère de Gauss[8],[9] est une conséquence.

Notes et référencesModifier

  1. (en) « Raabe criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
  2. a et b Pour une démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon Série numérique sur Wikiversité.
  3. (en) Thomas John I'Anson Bromwich, An Introduction to the Theory of Infinite Series, Londres, Macmillan, (lire en ligne), p. 33, exemple 2.
  4. (en) « Kummer criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
  5. La « règle de Kummer », sur bibmath.net, n'est formulée que si (knun/un+1kn+1) admet une limite ρ : la série un diverge si ρ < 0 et ∑1/kn = +∞, et converge si ρ > 0.
  6. B. Beck, I. Selon et C. Feuillet, Exercices & Problèmes Maths 2e année MP, Hachette Éducation, coll. « H Prépa », (lire en ligne), p. 264.
  7. (en) « Bertrand criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
  8. (en) « Gauss criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
  9. (en) Eric W. Weisstein, « Gauss's Test », sur MathWorld.

BibliographieModifier

Jean-Marie Duhamel, Nouvelle règle sur la convergence des séries, JMPA, vol. 4, 1839, p. 214-221