Intégrale de Wallis

Intégrale particulière

En mathématiques, et plus précisément en analyse, une intégrale de Wallis est une intégrale faisant intervenir une puissance entière de la fonction sinus. Les intégrales de Wallis ont été introduites par John Wallis, notamment pour développer le nombre π en un produit infini de rationnels : le produit de Wallis.

Définition, premières propriétésModifier

Les intégrales de Wallis sont les termes de la suite réelle   définie par :

 

ou de façon équivalente (par le changement de variable  ) :

 .

Les premiers termes de cette suite sont :

                 
                 

Puisque pour  , on a  , la suite   est (strictement) positive et décroissante[1]. L'équivalent obtenu plus loin montrera que sa limite est nulle.

Relation de récurrence, calcul des intégrales de WallisModifier

Une intégration par parties permet d'établir la relation de récurrence[1] :

 .

De cette relation et des valeurs de   et  , on tire une expression des termes de la suite, selon la parité de leur rang :

 

Autre relation pour le calcul des intégrales de WallisModifier

Les intégrales de Wallis peuvent s'exprimer grâce aux intégrales eulériennes :

  1. L'intégrale d'Euler de première espèce aussi appelée fonction bêta :
     
  2. L'intégrale d'Euler de seconde espèce aussi appelée fonction gamma :
     .

Sachant que   et  , on peut écrire les intégrales de Wallis sous la forme suivante :

 .

Un équivalent de la suite des intégrales de WallisModifier

De la formule de récurrence précédente, on déduit d'abord l'équivalence[1] :

 .

Puis, en étudiant  , on établit l'équivalence suivante[1] :

 .

ApplicationsModifier

Établissement de la formule de StirlingModifier

On suppose connue l'existence d'une constante   telle que[2] :

 .

En remplaçant les factorielles dans l'expression ci-dessus des intégrales de Wallis, on en déduit un nouvel équivalent :

 .

En le confrontant à l'équivalent de   obtenu précédemment, on en déduit que

 .

On a ainsi établi la formule de Stirling :

 .

Calcul de l'intégrale de GaussModifier

On peut aisément utiliser les intégrales de Wallis pour calculer l'intégrale de Gauss.

On utilise pour cela l'encadrement suivant[3], issu de la construction de la fonction exponentielle par la méthode d'Euler : pour tout entier   et tout réel  ,

 .

Posant alors  , on obtient :

 .

Or les intégrales d'encadrement sont liées aux intégrales de Wallis. Pour celle de gauche, il suffit de poser   (t variant de 0 à π/2). Quant à celle de droite, on peut poser   (t variant de 0 à π/4) puis majorer par l'intégrale de 0 à π/2. On obtient ainsi :

 .

Par le théorème des gendarmes, on déduit alors de l'équivalent de   ci-dessus que

 .

Remarque : il existe bien d'autres méthodes de calcul de l'intégrale de Gauss, dont une méthode bien plus directe.

Calcul de πModifier

Puisque   (voir supra),

 .

Or d'après le calcul ci-dessus des intégrales de Wallis :

 .

On en déduit pour la constante π/2 l'expression (appelée produit de Wallis) :

 .

Notes et référencesModifier

  1. a b c et d Pour le détail des calculs, voir par exemple le lien en bas de cette page vers Wikiversité.
  2. Voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon « Série numérique » sur Wikiversité.
  3. Voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon « Suites et séries de fonctions » sur Wikiversité.

Voir aussiModifier

Sur les autres projets Wikimedia :

Article connexeModifier

Calcul du volume de l'hypersphère

Lien externeModifier

John Wallis, sur le site L'univers de π.