Intégration par parties

En mathématiques, l'intégration par parties est une méthode qui permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en d'autres intégrales, dans un but de simplification du calcul.

La formule-type est la suivante, où $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables, de dérivées continues et $a$ et $b$ deux réels de leur intervalle de définition :

\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,\mathrm {d} x=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,\mathrm {d} x

ou encore, en remarquant que $u' (x) d x$ et $v' (x) d x$ sont respectivement les différentielles de $u$ et de $v$ :

\int _{a}^{b}u\,\mathrm {d} v=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}v\,\mathrm {d} u

.

Sommaire

DémonstrationModifier

La démonstration du théorème découle directement de la règle du produit :

(uv)'=u'v+uv'

.

On a donc

uv'=(uv)'-u'v

puis :

\int _{a}^{b}u(x)v'(x)~\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}(uv)'(x)~\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)~\mathrm {d} x

,

ce qui, d'après le second théorème fondamental de l'analyse, donne l'égalité annoncée.

Variante de « démonstration » avec la notation de Leibniz

Soit deux fonctions dérivables $u$ et $v$ . La règle de la dérivation d'un produit nous donne :

{\frac {\mathrm {d} (uv)}{\mathrm {d} x}}=u{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}+v{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}

.

En passant aux différentielles, on obtient :

\mathrm {d} (uv)=u\mathrm {d} v+v\mathrm {d} u

.

On réarrange ensuite l'expression de la façon suivante :

u\mathrm {d} v=\mathrm {d} (uv)-v\mathrm {d} u

.

Il suffit maintenant d'intégrer l'équation :

\int _{a}^{b}u\,\mathrm {d} v=\int _{a}^{b}\mathrm {d} (uv)-\int _{a}^{b}v\,\mathrm {d} u

.

On obtient alors :

\int _{a}^{b}u\,\mathrm {d} v=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}v\,\mathrm {d} u

.

Choix des variablesModifier

L'un des deux choix possibles pour les fonctions $u$ et $v'$ peut s'avérer meilleur que l'autre.

I=\int _{1}^{2}x\ln x\,\mathrm {d} x

.

Si l'on choisit $u = ln$ et $v' (x) = x$ , on a $u' (x) = 1/ x$ et l'on peut prendre $v (x) = x 2 /2$ , d'où :

I=\int _{1}^{2}x\ln x\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{2}}{2}}\ln x\right]_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}x\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{2}}{2}}\ln x\right]_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{1}^{2}

.

En revanche, si l'on choisit $u (x) = x$ et $v' = ln$ , on a $u' = 1$ et l'on peut prendre $v (x) = x ln(x) - x$ , d'où :

I=\int _{1}^{2}x\ln x\,\mathrm {d} x=\left[x(x\ln x-x)\right]_{1}^{2}-\int _{1}^{2}(x\ln x-x)\,\mathrm {d} x

.

On constate immédiatement que cette intégrale est plus compliquée que l'intégrale initiale (elle s'y ramène cependant puisque $\int _{1}^{2}(x\ln x-x)\,\mathrm {d} x=I-3/2$ ).

ExemplesModifier

Effectuons le calcul de $\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}x\cos x\,\mathrm {d} x$ grâce à une intégration par parties.
Pour cela, posons $u (x) = x$ , de telle sorte que $u' = 1$ , et $v' = cos$ , de telle sorte que $v = sin$ , par exemple (c.-à-d. à une constante additive près, qui de toutes façons disparaîtrait au cours des calculs intermédiaires). Il vient : ${\textstyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}x\cos x\,\mathrm {d} x&=\left[u(x)v(x)\right]_{0}^{\frac {\pi }{3}}-\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}u'(x)v(x)\,\mathrm {d} x\\&=\left[x\sin x\right]_{0}^{\frac {\pi }{3}}-\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\sin(x)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {\pi {\sqrt {3}}}{6}}+\left[\cos x\right]_{0}^{\frac {\pi }{3}}\\&={\frac {\pi {\sqrt {3}}}{6}}-{\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}$
Il s'agit de la méthode classique^[1] pour trouver une primitive du logarithme naturel : $\int _{\mathrm {e} }^{x}\ln t\,\mathrm {d} t=x\ln x-x$ .
Une intégration par parties sur une intégrale impropre permet d'établir l'équation fonctionnelle de la fonction gamma.
Une double intégration par parties permet par exemple de montrer^[1] que $\int \mathrm {e} ^{x}\sin x\,\mathrm {d} x={\frac {\mathrm {e} ^{x}\left(\sin x-\cos x\right)}{2}}+C$ et de même, $\int \mathrm {e} ^{x}\cos x\,\mathrm {d} x={\frac {\mathrm {e} ^{x}\left(\sin x+\cos x\right)}{2}}+C$ ,où le réel C est une constante d'intégration.

GénéralisationsModifier

On peut étendre ce théorème aux fonctions continues et de classe C¹ par morceaux sur le segment d'intégration (mais la continuité est indispensable).
Par récurrence, on peut généraliser ce théorème aux fonctions de classe C^{$n +1$} : $\int _{a}^{b}u(x)v^{(n+1)}(x)\,\mathrm {d} x=\left[\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}u^{(k)}v^{(n-k)}\right]_{a}^{b}+(-1)^{n+1}\int _{a}^{b}u^{(n+1)}(x)v(x)\,\mathrm {d} x$ .
Si, sur $[a, b]$ , $u$ est absolument continue et $g$ est intégrable, alors $\int _{a}^{b}ug=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'v$ ,pour toute fonction $v$ telle que $\forall x\in [a,b]\quad v(x)=v(a)+\int _{a}^{x}g$ .La démonstration^[2] est essentiellement la même que ci-dessus, avec des dérivées définies seulement presque partout et en utilisant l'absolue continuité de $v$ et $uv$ .