Méthodes de quadrature de Gauss

Dans le domaine mathématique de l'analyse numérique, les méthodes de quadrature sont des approximations de la valeur numérique d'une intégrale. En général, on remplace le calcul de l'intégrale par une somme pondérée prise en un certain nombre de points du domaine d'intégration (voir calcul numérique d'une intégrale pour plus d'informations). La méthode de quadrature de Gauss, du nom de Carl Friedrich Gauss[1], est une méthode de quadrature exacte pour un polynôme de degré 2n – 1 avec n points pris sur le domaine d'intégration.

Les formules de Gauss jouent un rôle fondamental dans la méthode des éléments finis.

Principe généralModifier

On souhaite évaluer numériquement l'intégrale

 

Le domaine d'intégration (a, b) couvre plusieurs cas :

  • intervalles bornés : comme [a, b], [a, b[, etc.
  • demi-droite réelle : [a, +∞[, ] -∞, b],
  • la droite réelle tout entière : ℝ.

Les méthodes sont de la forme

 

  est une fonction de pondération continue strictement positive, qui peut assurer l'intégrabilité de f. Les   sont appelés les coefficients de quadrature (ou poids). Les points xi sont appelés les nœuds de la quadrature.

Théorème fondamentalModifier

Pour n donné :

  • Les n nœuds xi sont réels, distincts, uniques et sont les racines du polynôme unitaire de degré n, orthogonal au sous-espace des polynômes de degré n-1 pour le produit scalaire  [2].
  • Pour tout i,   est égal à  , où li est le polynôme interpolateur de Lagrange de degré n-1, prenant la valeur 1 en xi, et 0 en les xk pour k différent de i.
  • Pour les polynômes de degré inférieur ou égal à 2n-1, il y a égalité entre   et  .

Le domaine d'intégration et la fonction de pondération déterminent le type de la quadrature de Gauss. Le tableau suivant résume les situations les plus communes.

Principales configurations de quadrature de Gauss
Domaine d'intégration (a,b) Fonction de pondération   Famille de polynômes orthogonaux
[–1, 1] 1 Legendre
]–1, 1[   Jacobi
]–1, 1[   Tchebychev (premier type)
]–1, 1[   Tchebychev (second type)
+   Laguerre
  Hermite

Une fois le type de quadrature choisi, la formule à n points s'écrit :

 

On définit l'erreur comme  . Le degré d'exactitude d'une formule de quadrature est le degré le plus élevé de la famille des polynômes annulant E(f). On a le résultat suivant : une formule à n points admet un degré d'exactitude de 2n–1.

Cas particulier pour un intervalle ferméModifier

Le domaine d'intégration [a, b] peut être changé (au moyen d'un changement de variable) en [–1, 1] avant d'appliquer les méthodes de quadrature de Gauss. Le changement se déroule ainsi :

 

L'approximation de la valeur de l'intégrale devient :

 

où les xi sont ici relatifs à l'intervalle [–1, 1].

Méthodes courantesModifier

Méthode de Gauss-LegendreModifier

Pour le problème d'intégration le plus classique, on utilise la méthode de Gauss-Legendre[3]. Il s'agit d'intégrer la fonction f sur le segment [–1, 1]. Les n nœuds sont les racines du n-ième polynôme de Legendre, Pn(x), et les coefficients sont donnés par l'une ou l'autre égalité :

 

On peut aussi remarquer que la somme des coefficients est égale à 2. Le tableau suivant donne l'ensemble des informations pour réaliser le calcul approché de I pour les formules à un, deux et trois points.

Nombre de points, n Poids   Points   Polynôme de Legendre
1 2 0 x
2 1, 1 1/3, 1/3 (3x2 – 1)/2
3 5/9, 8/9, 5/9 3/5, 0, 3/5 (5x3 – 3x)/2

ExempleModifier

On cherche à déterminer  . On cherche à intégrer un polynôme de degré 2, 2 points suffisent pour obtenir la valeur exacte.

 

On peut facilement vérifier ce résultat car dans cet exemple, on connaît une primitive de (x + 1)2 :

 

Cet exemple ne représente pas un cas pratique. En règle générale, on n'obtient jamais un résultat exact et bien entendu, on n'applique pas ces méthodes pour les fonctions dont on connaît une primitive.

Méthode de Gauss-TchebychevModifier

Cette formule est associée au poids   sur ]–1, 1[. Pour une formule à n points[4], les nœuds sont

 

et les coefficients :

 

Méthode de Gauss-LaguerreModifier

Cette formule est associée au poids   sur ]0, +∞[. Les n nœuds sont les n racines du n-ième polynôme de Laguerre Ln, et les coefficients sont

 

Les coefficients et les nœuds ne peuvent être calculés analytiquement que pour n petit[5]. Par exemple, pour n = 2 :

n    
2    

Maintenant, pour intégrer une fonction f sur ℝ+, il faut remarquer que

 

Il reste alors à appliquer la formule de quadrature à la fonction  

Méthode de Gauss-HermiteModifier

Sur ℝ, la formule de Gauss-Hermite est caractérisée par la pondération  . Pour une formule à n points[6], les xi sont calculés comme les n racines du n-ième polynôme d'Hermite Hn ; quant aux pondérations, elles sont obtenues à partir de

 

Concernant l'intégration de f sur ℝ, il suffit d'appliquer la formule de quadrature à la fonction  

Autres méthodes de quadrature de GaussModifier

Méthodes de Gauss-LobattoModifier

Pour le cas des méthodes de quadrature de Gauss-Lobatto (en) sur l'intervalle [a, b], on impose parmi les r + 1 points de quadrature les deux extrémités de l'intervalle :

 

Pour un ordre de quadrature r, les points intérieurs de quadrature deviennent alors les zéros du polynôme dérivé du r-1e polynôme orthogonal :

 

Méthodes de Gauss-RadauModifier

Pour le cas des méthodes de quadrature de Gauss-Radau sur l'intervalle [a, b], on impose parmi les r+1 points de quadrature une des extrémités :

 

Par symétrie, on peut également fixer b comme point.

Pour un ordre de quadrature r, les points intérieurs de quadrature deviennent alors les zéros du polynôme :

 

Calcul des points et poids de quadratureModifier

Pour obtenir les points et poids de quadrature pour un ordre élevé, on consultera avec profit l'ouvrage d'Abramowitz et Stegun[7].

Notes et référencesModifier

  1. Gauss a publié les principes de cette méthode dans Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi, Gœttingue, Heinrich Dietrich, .
  2. Jean-Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles, Presses universitaires de Grenoble, , 309 p. (ISBN 2-7061-0421-X), p. 74
  3. (en) Eric W. Weisstein, « Legendre-Gauss quadrature », sur MathWorld.
  4. (en) Eric W. Weisstein, « Chebyshev-Gauss quadrature », sur MathWorld.
  5. (en) Eric W. Weisstein, « Laguerre-Gauss quadrature », sur MathWorld.
  6. (en) Eric W. Weisstein, « Hermite-Gauss quadrature », sur MathWorld.
  7. (en) Abramowitz et Stegun, Handbook of Mathematical Functions (lire en ligne), p. 875 et suivantes

Voir aussiModifier