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Équation de Laplace

Équation aux dérivées partielles du second ordre particulière

Équation de Laplace à trois dimensionsModifier

En coordonnées cartésiennes dans un espace euclidien de dimension 3, le problème consiste à trouver toutes les fonctions à trois variables réelles   qui vérifient l'équation aux dérivées partielles[1] du second ordre :

 .

Pour simplifier l'écriture, on introduit un opérateur différentiel noté   et appelé opérateur de Laplace, ou simplement laplacien, tel que l'équation aux dérivées partielles précédente s'écrive de façon compacte :

 .

En coordonnées sphériques dans la convention rayon-colatitude-longitude, la solution générale à l'équation de Laplace est

 

  et   sont les polynômes associés de Legendre du premier et du second type, respectivement. Comme ceux du second type comportent des divergences, ils ne sont habituellement pas considérés dans les problèmes physiques. Également, il est plus courant de combiner les polynômes associés de Legendre et les phases   sous la forme des harmoniques sphériques  .

En coordonnées cylindriques, il existe deux possibilités dépendamment des conditions frontières de la solution recherchée. Si la solution doit osciller entre deux valeurs de  , notamment un cylindre de rayon   et de hauteur   dont les extrémités sont fixées à zéro alors la solution générale aura la forme

 

  et   sont les fonctions de Bessel modifiées du premier et deuxième types, respectivement.

Si la solution recherchée doit être nulle sur la surface latérale du cylindre, alors la solution générale aura la forme

 

  et   sont les fonctions de Bessel et de Neumann, respectivement, et où   est le n-ième zéro de la m-ième fonction de Bessel.

Équation de Laplace à deux dimensionsModifier

En coordonnées cartésiennes dans un espace euclidien de dimension 2, le problème consiste à trouver toutes les fonctions à deux variables réelles   qui vérifient :

 .

On montre que toute fonction holomorphe donne des solutions de l'équation de Laplace à deux dimensions par sa partie réelle et sa partie imaginaire ; de plus, ces solutions sont orthogonales en tout point.

Rappels sur les fonctions holomorphesModifier

Toute fonction polynomiale à coefficients complexes est holomorphe sur   ; aussi le sont les fonctions trigonométriques et la fonction exponentielle (les fonctions trigonométriques sont en fait relativement proches de la fonction exponentielle puisqu'elles peuvent être définies à partir de celle-ci en utilisant les formules d'Euler).

  • La fonction logarithme est holomorphe sur l'ensemble des nombres complexes privé de la demi-droite des réels négatifs (on parle de « coupure »).
  • La fonction racine carrée peut être définie par   et est ainsi holomorphe partout où la fonction logarithme l'est.
  • Les fonctions trigonométriques réciproques ont de la même manière des coupures et sont holomorphes partout sauf aux coupures.
  • La fonction inverse   est holomorphe sur  .

Résultats sur l'équation de Laplace et les fonctions holomorphesModifier

Premier théorèmeModifier

Théorème — Toute fonction holomorphe est harmonique.

Remarque : (cas particulier de la décomposition d'un laplacien vectoriel). Si la décomposition d'une fonction complexe   en partie réelle et partie imaginaire s'écrit

 

alors celle de son laplacien s'écrit :

 ,

donc F est harmonique si et seulement si V et   le sont. Par conséquent, la partie réelle et la partie imaginaire d'une fonction holomorphe sont harmoniques.

Second théorèmeModifier

Théorème — Les lignes de niveau de la partie réelle et de la partie imaginaire d'une fonction holomorphe sont orthogonales.

Équation de PoissonModifier

En remplaçant le membre de droite nul par une fonction donnée f, on obtient l'équation de Poisson :  .

Notes et référencesModifier

  1. Comme pour toute équation aux dérivées partielles, il faut en général spécifier des conditions aux limites pour que le problème soit mathématiquement « bien posé ». Il se peut cependant que le problème soit mal posé, bien que des conditions aient été fixées (par exemple, des conditions aux limites de Neumann sur l'entièreté du bord du domaine). Aucune condition initiale n'est nécessaire, en revanche.
  2. a et b Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions].

Articles connexesModifier