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Convergence simple

Généralisation de la notion de convergence d'une suite pour une suite de fonctions
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Convergence.

En mathématiques, la convergence simple ou ponctuelle est une notion de convergence dans un espace fonctionnel, c’est-à-dire dans un ensemble de fonctions entre deux espaces topologiques. C'est une définition peu exigeante : elle est plus facile à établir que d'autres formes de convergence, notamment la convergence uniforme et le passage à la limite possède donc moins de propriétés : une suite de fonctions continues peut ainsi converger simplement vers une fonction qui ne l'est pas.

Exemple : les fonctions continues en vert fn(x)=sinn(x) convergent simplement vers la fonction discontinue en rouge.

Convergence simple d'une suite de fonctionsModifier

DéfinitionModifier

Soient X un ensemble, Y un espace topologique, et   une suite de fonctions définies sur X et à valeurs dans Y.

  • La suite   converge simplement si et seulement si
pour tout  , la suite   converge dans Y.
  • La suite d'applications   converge simplement vers une application   si et seulement si
pour tout  , la suite   converge vers  .


RemarquesModifier

  • L'ensemble de départ X n'est pas supposé muni d'une structure topologique.
  • Si l'espace d'arrivée Y est supposé séparé, alors l'éventuelle limite simple d'une suite de fonctions à valeurs dans Y est toujours unique.
  • Si Y est même un espace métrique, c'est-à-dire muni d'une distance   et de la topologie associée, alors on peut traduire la notion de convergence simple en termes de « epsilon » :
Une suite   de fonctions converge simplement sur   vers une fonction   si et seulement si
 

Topologie de la convergence simpleModifier

Article détaillé : Topologie produit.

DéfinitionModifier

L'ensemble des applications de X dans Y est noté YX. Il existe sur cet ensemble au moins une topologie pour laquelle la convergence des suites de fonctions n'est autre que la convergence simple : la topologie produit, ou topologie de la convergence simple. On peut en décrire une prébase : si l'on note W(x, V), pour tout point x de X et tout ouvert V de Y, l'ensemble des applications f de X dans Y telles que f(x)∈V, alors l'ensemble de tous les W(x, V) forme une prébase de la topologie produit, c'est-à-dire que les ouverts de YX sont les réunions quelconques d'intersections finies de parties de la forme W(x, V).

RemarquesModifier

PropriétésModifier

La convergence simple est un critère de convergence peu contraignant, comme son nom l'indique. Il existe donc moins de propriétés que dans le cas de la convergence uniforme par exemple.

  • La convergence uniforme entraîne clairement la convergence simple. La réciproque est fausse, comme le montre le contre-exemple illustré graphiquement en début d'article.
  • La convergence simple ne conserve pas la continuité, comme le montre le même graphique.
  • Dans le cas où l'ensemble de départ est un espace mesurable et où l'ensemble d'arrivée est le corps des réels alors la convergence simple peut indiquer la convergence pour la norme   avec l'ajout de certaines hypothèses décrites dans les articles Théorème de convergence monotone et Théorème de convergence dominée.
  • Le passage à la limite pour l'intégrale des limites simples a contribué à motiver l'introduction par Henri Lebesgue de sa notion de fonction mesurable. La préservation de l'intégrabilité locale n'est en effet pas vraie au sens de Riemann employé dans le cadre de la théorie de l'intégrale de Riemann.

NotesModifier

  1. Alors que l'espace de Cantor et le cube de Hilbert, produits dénombrables, sont métrisables.
  2. Sauf bien sûr si la topologie sur Y est grossière.

Voir aussiModifier