Identité trigonométrique

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Une identité trigonométrique est une relation impliquant des fonctions trigonométriques, vérifiée pour toutes les valeurs possibles des variables intervenant dans la relation. Ces identités peuvent servir à simplifier une expression comportant des fonctions trigonométriques ou à la transformer (par exemple pour en calculer une primitive). Elles constituent donc une « boîte à outils » utile pour la résolution de problèmes.

Les fonctions trigonométriques sont définies géométriquement ou analytiquement. Elles servent beaucoup en intégration, pour intégrer des fonctions « non trigonométriques » : un procédé habituel consiste à effectuer un changement de variable en utilisant une fonction trigonométrique, et à simplifier ensuite l'intégrale obtenue avec les identités trigonométriques.

Notation : si ƒ est une fonction trigonométrique, ƒ2 désigne la fonction qui à tout réel x associe le carré de ƒ(x). Par exemple : cos2 x = (cos x)2.

Relations entre fonctions trigonométriquesModifier

Les relations entre fonctions trigonométriques résultent d'une part des définitions

 

et d'autre part de l'application du théorème de Pythagore, notamment :

 
Relations entre fonctions trigonométriques dans le premier quadrant ( )[1], éventuellement non valables en 0 ou  
cos sin tan cot sec csc
cos          
sin          
tan          
cot          
sec          
csc          

Propriétés liées au cercle trigonométriqueModifier

Symétries, paritéModifier

Parité - Réflexion d'axe (θ = 0) Réflexion d'axe (θ = π/4) Réflexion d'axe (θ = π/2)
     

Note : Toutes ces formules sont également utilisables pour des ajouts d'angles, il suffit pour cela de prendre l'opposé : par exemple, . Il suffit ensuite d'appliquer la formule de simplification correspondante de la première colonne.

Périodicité, décalagesModifier

Décalage de π/2 Décalage de π
(Période de tan et cot)
Décalage de
(Période de sin et cos)
     

Équations trigonométriquesModifier

Certaines des relations ci-dessus sont renforcées par les équivalences suivantes[2] :

 
 
 

Formules d'addition et de différenceModifier

Les deux formules principales sont les formules d'addition pour le cosinus et le sinus[3],[4] :

 
 

En remplaçant b par son opposé, on obtient aussi les formules de différence[4] :

 
 

Le moyen le plus rapide pour les démontrer est, à partir de la définition analytique du cosinus et du sinus, d'utiliser les formules d'Euler.

Il existe de nombreuses autres démonstrations possibles, utilisant les propriétés d'une corde dans un cercle, la relation entre cosinus d'un angle et produit scalaire (en évaluant de deux façons différentes le produit scalaire des vecteurs (cos a, sin a) et (cos b, sin b), la propriété du changement de repère ou encore la démonstration matricielle ci-dessous.

On en déduit les formules d'addition et de différence pour la tangente et la cotangente. Par exemple pour l'addition[N 1] :

 .
Exemple
 .

Plus généralement, la tangente d'une somme de n angles[5] (resp. la cotangente) s'exprime en fonction des tangentes (resp. des cotangentes) de ces angles :

 

où les σk (pour 0 ≤ kn) sont les polynômes symétriques élémentaires. Pour n impair, il s'agit de la même fraction rationnelle ; par exemple pour n = 3[N 2] :

 

Une autre conséquence intéressante de la formule d'addition pour sin est qu'elle permet de ramener la combinaison linéaire d'un sinus et d'un cosinus à un sinus :    si α est positif et   sinon.

Formules de duplication et d'angle moitiéModifier

Formules de l'angle doubleModifier

Appelées aussi « formules d'angle double », elles peuvent être obtenues, pour les deux premières[6], en remplaçant a et b par x dans les formules d'addition ou en utilisant la formule de Moivre avec n = 2. Les deux suivantes se déduisent de l'identité cos2x + sin2x = 1.

 

Formules de réduction du carréModifier

Ces formules[7],[8] permettent d'écrire cos2x et sin2x, donc aussi tan2x, en fonction du cosinus de l'angle double :

 

Formules d'angle moitiéModifier

 
 

Formules impliquant la « tangente de l'arc moitié »Modifier

Si l'on pose, pour x ≠ π + 2kπ,

 ,

on a[9]

 [N 3]  

Dans le cas de changement de variable en intégration, on ajoutera la relation [9] :  .

Ces formules permettent de simplifier des calculs trigonométriques en se ramenant à des calculs sur des fractions rationnelles. Elles permettent aussi de déterminer l'ensemble des points rationnels du cercle unité.

Formules de SimpsonModifier

Transformation de produits en sommes, ou linéarisationModifier

 
 
 
  (équivalente à la précédente par interversion de a et b).

Ces formules peuvent être démontrées en développant leurs membres de droite en utilisant les formules d'addition et de différence.

Transformation de sommes en produits, ou antilinéarisationModifier

 
 
 
  (équivalente à la précédente en remplaçant q par –q).

Il suffit de remplacer a par p + q/2 et b par pq/2 dans les formules de transformation de produit en somme. On en déduit une généralisation des formules de la tangente de l'angle moitié :

 .

Par ailleurs, on déduit directement de la formule d'addition pour sin :

 .

Formules d'EulerModifier

 

 

i est l'unité imaginaire. On en déduit que

 

Formule de Moivre et formules d'angle multipleModifier

La formule de Moivre s'écrit :

 .

Par la formule du binôme, elle équivaut à :

 .

Compte tenu de sin2 x = 1- cos2x, si l'on pose

 ,

on a cos(nx) = Tn(cos x) et sin((n+1)x) = sin(x) Un(cos x).

Le polynôme Tn (resp. Un) est le n-ième polynôme de Tchebychev de première (resp. seconde) espèce.

Par exemple

 .

La formule de Moivre permet aussi d'exprimer tan(nx) en fonction de tan x par la relation

 .

Par exemple

 .

LinéarisationModifier

La linéarisation d'une expression cospx sinqx a pour but de l'exprimer comme combinaison linéaire de divers cos(nx) (si q est pair) ou sin(nx) (si q est impair) — par exemple pour en calculer une primitive. On peut utiliser soit les formules de transformation de produits en sommes ci-dessus, soit les formules d'Euler :  

Il suffit ensuite de

  • développer chacun des deux facteurs grâce à la formule du binôme de Newton,
  • développer le produit des deux sommes obtenues (par distributivité),
  • simplifier les termes en utilisant que 
  • puis les regrouper, sachant que  

Si l'un des deux exposants p ou q est nul, en appelant « degré » la valeur de l'autre, on a :

Calcul de sommes partielles de séries trigonométriques à coefficients constantsModifier

Les sommes   et   ont les expressions closes suivantes, pour   :

 

.

On démontre ces formules en remarquant que   et en utilisant les sommes de suites géométriques, ou en multipliant par   et en linéarisant.

On en déduit que  .

Pour  ,  .


Ces formules permettent d'exprimer le noyau de Dirichlet Dn , fonction définie par :

pour tout réel x,  

Le produit de convolution de n'importe quelle fonction de carré intégrable et de période avec le noyau de Dirichlet coïncide avec la somme d'ordre n de sa série de Fourier.

Fonctions trigonométriques réciproquesModifier

Ce sont les fonctions réciproques des fonctions sinus, cosinus et tangente.

 
 
 

Si   alors

 .

Si   alors

 .
On a également l'identité suivante :
 

 
 
 .

Beaucoup d'identités similaires aux suivantes peuvent être obtenues à partir du théorème de Pythagore.

Relations entre fonctions trigonométriques inverses pour x > 0
arccos arcsin arctan arccot
arccos      
arcsin      
arctan      
arccot      

Propriétés métriques dans un triangle quelconqueModifier

Théorème d'Al-Kashi ou loi des cosinusModifier

 
Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque.

Soit ABC un triangle, dans lequel on utilise les notations usuelles : d'une part α, β et γ pour les mesures des angles et, d'autre part, a, b et c pour les longueurs des côtés respectivement opposés à ces angles (voir figure ci-contre). Alors on a :

 

Formule des sinusModifier

En notant de plus S l'aire du triangle et R le rayon de son cercle circonscrit (voir figure ci-contre), on a :

 

D'autre part, S est le produit du demi-périmètre p = a + b + c/2 par le rayon r du cercle inscrit.

Formule des différences des côtésModifier

 .
 .
 .

Relations entre les anglesModifier

En utilisant le fait que   on obtient de nombreuses relations trigonométriques, dont par exemple :

 

 

Identités sans variableModifier

 .

Une telle identité est un exemple d'identité qui ne contient pas de variable ; elle s'obtient à partir de l'égalité :

 .
  • Autres exemples :
 
 
 

Les facteurs 1, 2, 4, 5, 8, 10 sont les entiers inférieurs à 21/2 qui n'ont pas de facteur commun avec 21.

Ces exemples sont des conséquences d'un résultat de base sur les polynômes cyclotomiques ; les cosinus sont les parties réelles des racines de ces polynômes ; la somme des zéros donne la valeur de la fonction de Möbius en 21 (dans le tout dernier cas qui précède) ; seulement la moitié des racines sont présentes dans ces relations.

  • Dans cet article, on trouvera des identités faisant intervenir l'angle   , comme  
  • et dans celui-ci, des identités faisant intervenir l'angle  , comme  .
  • Autre identité classique[N 4] :  , dont on peut déduire  .

En analyseModifier

En analyse, il est essentiel que les angles qui apparaissent comme arguments de fonctions trigonométriques soient mesurés en radians ; s'ils sont mesurés en degrés ou dans n'importe quelle autre unité, alors les relations reportées ci-dessous deviennent fausses.

EncadrementModifier

La signification géométrique du sinus et de la tangente « montre[10] » — et le théorème des accroissements finis démontre — que

 

Cet encadrement est souvent utilisé ; deux exemples en sont la méthode d'Archimède pour le calcul du nombre π (voir quadrature du cercle) et le problème de Bâle.

En changeant x en arctan x , on obtient :

 

En changeant x en arcsin x, on obtient :

 

DérivéesModifier

Les dérivées de sin et cos peuvent se déduire l'une de l'autre par décalage de π/2. Elles sont :

 

Les autres fonctions trigonométriques peuvent être dérivées en utilisant les identités précédentes et les règles de dérivation. Par exemple :

         

PrimitivesModifier

Les identités sur les intégrales peuvent être trouvées dans la table des primitives de fonctions trigonométriques.

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. Pour une démonstration du développement de tan(a + b), voir par exemple ce chapitre de la leçon « Trigonométrie » sur Wikiversité. Celui de cot(a + b) se démontre de même.
  2. Voir « Loi des cotangentes » pour une utilisation.
  3. Sous réserve que t soit différent de ±1, c'est-à-dire xπ/2 + kπ.
  4. Voir plus généralement cette liste d'identités sur Wikiversité.

RéférencesModifier

  1. (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), p. 73, 4.3.45.
  2. Arthur Adam et Francis Lousberg, Espace Math 5e/6e, De Boeck, (lire en ligne), p. 144.
  3. Lionel Porcheron, Le formulaire MPSI, MP, Dunod, , 4e éd. (lire en ligne), p. 178.
  4. a et b Dany-Jack Mercier, L'épreuve d'exposé au CAPES mathématiques, vol. 2, Publibook, (lire en ligne), p. 168.
  5. (en) Martin Erickson, Aha! Solutions, MAA, (lire en ligne), p. 30-31.
  6. Collectif, Objectif Bac - Toutes les matières - Term STI2D, Hachette, (lire en ligne), p. 18.
  7. Mercier 2006, p. 169.
  8. « Formules de Carnot » (Adam et Lousberg 2003, p. 143).
  9. a et b Jean-Pierre Ramis, André Warusfel et al., Mathématiques Tout-en-un pour la Licence - Niveau L1, Dunod, 2e éd. (lire en ligne), p. 676.
  10. (en) Fred Richman, « A Circular Argument », The College Mathematics Journal (en), vol. 24, no 2,‎ , p. 160-162 (lire en ligne).
  11. Détaillé dans Fonctions trigonométriques/Propriétés préliminaires sur Wikiversité.

Voir aussiModifier

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