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Rotation vectorielle

endomorphisme du groupe spécial orthogonal

Rotation vectorielle planeModifier

Écriture matricielleModifier

Article détaillé : Matrice de rotation.

Dans le plan vectoriel euclidien orienté, une rotation vectorielle est simplement définie par son angle  . Sa matrice dans une base orthonormée directe est :

 .[1]

Autrement dit, un vecteur   de composantes   a pour image le vecteur   de composantes   que l'on peut calculer avec l'égalité matricielle :

 ,

c'est-à-dire que l'on a :

 

et

 .

ExempleModifier

Si par exemple  =0,8 et  =0,6 ,  désigne un des angles du triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5. On peut multiplier les exemples fournissant des matrices à coefficients rationnels en utilisant à chaque fois un triplet pythagoricien.

Écriture complexeModifier

Ceci peut être rapproché de la formule suivante, écrite avec des nombres complexes :

 

ou encore :

 .

Sens de rotationModifier

Lorsque   est compris entre   et   et si le plan est orienté de façon usuelle, la rotation se fait dans le sens trigonométrique (ou « sens inverse des aiguilles d'une montre » ). On dit que la rotation est sénestre. Si   est compris entre   et  , la rotation se fait dans le sens des aiguilles d'une montre. Elle est dite dextre.

CompositionModifier

La composée de deux rotations vectorielles est une rotation vectorielle dont l'angle est la somme des angles des deux rotations, ce qu'on traduit en disant que le groupe des rotations vectorielles est isomorphe au groupe  .

Rotations et anglesModifier

Dans la construction axiomatique de la géométrie reposant sur l'algèbre linéaire, c'est la définition des rotations planes qui permet de définir la notion d'angle [1] (voir aussi l'article Angle).

Rotation vectorielle dans l'espace de dimension 3Modifier

Écriture matricielleModifier

Article détaillé : Matrice de rotation.

Dans l'espace euclidien orienté de dimension 3, une rotation vectorielle est définie par :

  • un vecteur unitaire  , qui détermine son axe : la droite des vecteurs invariants par cette rotation vectorielle est engendrée et orientée par ce vecteur ;
  • son angle  , celui de la rotation vectorielle plane associée, restriction de cette rotation au plan   orthogonal à l'axe.

L'orientation de ce plan est déterminée par le choix de l'orientation de l'axe. Les couples   et   représentent donc la même rotation de l'espace.

Nous noterons   les coordonnées du vecteur unitaire   dans une base orthonormée directe   fixée :

 .

Soit   un vecteur quelconque. Notons   son image par la rotation  .

Cas particulier simpleModifier

Commençons par l'étude du cas particulier  .

Le plan   est alors le plan engendré par les vecteurs   et  . Le vecteur   se décompose en un vecteur   colinéaire à   qui est invariant par la rotation, et un vecteur   qui subit une rotation d'angle   dans le plan  , et l'on peut appliquer à   les formules établies dans le cas des rotations vectorielles planes. On peut donc écrire :

        et         comme ci-dessus,

ce qui peut s'écrire sous la forme synthétique :

 

Cas généralModifier

Si le vecteur unitaire   est quelconque par rapport à la base orthonormée directe   qui sert à exprimer les composantes, le raisonnement est plus délicat.

Le vecteur   se décompose en la somme de  , colinéaire à   et invariant par la rotation, et de  , élément de   et qui va subir une rotation dans ce plan. Le vecteur directement orthogonal à   dans le plan et de même norme est  , de sorte que l'image de   dans la rotation d'angle   est  .

Finalement, l'image de   par la rotation vaut :

 

et si on remplace   par sa valeur  , on obtient :

 

d'où finalement la formule de rotation de Rodrigues (en)[2] :

 

.

La formule encadrée ci-dessus donne l'expression vectorielle de l'image   d'un vecteur   quelconque, par la rotation  .

On peut présenter le même résultat sous la forme matricielle équivalente suivante :

 

avec :

 

.

RemarquesModifier

La matrice M est appelée matrice de rotation. C'est une matrice orthogonale directe, ce qui signifie que ses colonnes forment une base orthonormée directe, ou encore que sa matrice transposée est égale à sa matrice inverse et que son déterminant vaut 1.

Inversement, étant donné une matrice de rotation quelconque, on retrouve facilement le cosinus de l'angle de rotation. En effet, la trace de la matrice (c'est-à-dire la somme de ses éléments diagonaux) est égale à  . Par ailleurs, on remarque que :

 

ce qui permet de retrouver rapidement l'axe et le sinus associés à la rotation. Géométriquement,   et   forment les deux côtés d'un losange dont le vecteur   est la diagonale, orthogonale à l'axe de rotation. C'est le losange d'Olinde Rodrigues.

Utilisation des quaternionsModifier

On peut également faire appel à la notion de quaternions. En effet, on peut calculer l'image   du vecteur   en utilisant le produit de quaternions sous la forme suivante :

 

Composition de deux rotations vectoriellesModifier

La composée   de deux rotations vectorielles   et   de l'espace de dimension 3 est une rotation vectorielle. Les caractéristiques   de celle-ci se déterminent à partir de  , où   est le produit   des matrices de rotation initiales, ou bien à partir du produit des quaternions définissant chacune des rotations, ou bien en composant les formules de Rodrigues relatives à chaque rotation.

On trouve que[3] :

 
 

Rotations en dimension 4Modifier

Les matrices du groupe orthogonal SO(4) peuvent de même se mettre sous forme canonique (après diagonalisation dans C) ; on montre qu'il existe deux plans vectoriels orthogonaux tels que dans une base orthonormale constituée de deux vecteurs de chaque plan, la matrice s'écrive

 .

On voit donc que la rotation est composée de deux rotations planes, et ne possède en particulier pas de vecteur fixe (pas d'« axe ») sauf si l'un des angles α ou β est nul (dans ce cas, on peut parler, par analogie avec le cas tridimensionnel, de rotation « autour » d'un plan). Si  , les deux plans sont uniques, et ce sont les seuls plans globalement invariants par la rotation ; dans le cas où   (rotations dites isoclines), tous les plans engendrés par un vecteur et son image sont globalement invariants.

Notes et référencesModifier

  1. a et b Jean Dieudonné, Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, Paris, Hermann, , p.113 pour l'étude mathématique et voir aussi la préface : "je pense en particulier aux invraisemblables confusions et paralogismes auxquels donne lieu une notion aussi simple que celle d' "angle" quand on la prend du point de vue traditionnel, alors, que, du point de vue de l'algèbre linéaire, ce n'est pas autre chose que l'étude du groupe des rotations dans le plan.",p. 13
  2. Olinde Rodrigues, « Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un corps solide dans l'espace, et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendammet des causes qui peuvent les produire », Journal de mathématiques pures et appliquées, , p. 380-440, plus spécialement p. 403
  3. Olindes Rodrigues, op. cit., plus spécialement p. 408

Voir aussiModifier