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Deux fonctions f et h qui admettent la même limite L au point a, et une fonction g prise en « étau » entre f et h dans le voisinage de a. Selon le théorème du sandwich, g admet L comme limite en a.

En analyse, le théorème des gendarmes[1] (également appelé théorème de l'étau[2], théorème d'encadrement[3] ou théorème du sandwich[4]) est un théorème concernant la limite d'une fonction. Selon ce théorème, si deux fonctions (f et h) admettent la même limite en un point (a), et qu'une troisième fonction (g) est prise en « étau » (ou « encadrée » ou « prise en sandwich ») entre f et h dans le voisinage de a, alors g admet en a une limite, égale à la limite commune de f et h.

Le théorème des gendarmes est souvent utilisé pour déterminer la limite d'une fonction via la comparaison avec deux autres fonctions dont la limite est connue ou facilement calculable.

ÉnoncéModifier

Soient :

Si   et si  , alors   converge en   et  [5].

Origine du nomModifier

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Pour comprendre le nom familier du théorème, il faut assimiler les fonctions f et h à des gendarmes et g à un suspect. Ce dernier, encadré par les deux gendarmes, est obligé de les suivre jusqu'à la gendarmerie L. En Italie, on l'appelle « théorème des carabiniers », « théorème de l'affrontement », ou encore « théorème du sandwich ».

Cas particuliersModifier

  • Si   et  , les hypothèses du théorème sont satisfaites pour  , en posant  .
  • Si   et  , les hypothèses du théorème sont satisfaites pour  , en posant  .
  • L'ensemble A peut être un intervalle réel et le point a un élément de cet intervalle, ou l'une de ses deux bornes (finies ou non)[6].
  • On peut aussi appliquer le théorème avec   ou   et   : si u, v et w sont trois suites réelles, telles que pour tout n > N avec   réel ou infini.

Notes et référencesModifier

  1. Ministère de l'Éducation nationale (France), « Programme de l'enseignement des mathématiques en classe terminale de la série scientifique », B.O., no 4,‎ , p. 65 (lire en ligne).
  2. Abdou Kouider Ben-Naoum, Analyse : Premières notions fondamentales : Théorie, exemples, questions, exercices, Presses universitaires de Louvain, , 414 p. (ISBN 9782874630811, lire en ligne), p. 66.
  3. Stéphane Balac et Frédéric Sturm, Algèbre et analyse : cours de mathématiques de première année avec exercices corrigés, PPUR, (lire en ligne), p. 577.
  4. James Stewart (en) (trad. de l'anglais par Micheline Citta-Vanthemsche), Analyse concepts et contextes : Fonction d'une variable [« Calculus: Concepts and Contexts »], vol. 1, De Boeck, , 631 p. (ISBN 9782804163068), p. 110.
  5. Pour des fonctions à valeurs dans ℝ — mais la démonstration est identique pour des fonctions à valeurs dans — le théorème est énoncé sous cette forme générale et démontré par E. Ramis, C. Deschamps et J. Odoux, Cours de mathématiques spéciales, vol. 3, Masson, , p. 40, ainsi que — pour le cas particulier E = et A ⊂ ℝ, mais la démonstration s'adapte sans problème à un espace topologique quelconque — dans Frédéric Denizet, Analyse - MPSI, Nathan, coll. « Classe prépa », (lire en ligne), p. 201 et dans « Limites et relation d'ordre » sur Wikiversité.
  6. On démontre ainsi que  . Cet exemple est détaillé sur Wikiversité.

Voir aussiModifier

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Article connexeModifier

Théorème du sandwich (variante)

Liens externesModifier