Opérations sur les dérivées

En mathématiques, le calcul de la dérivée de certaines fonctions à valeurs réelles ou complexes (ou plus généralement dans un corps topologique) peut être effectué en utilisant un certain nombre d'opérations sur les dérivées, notamment certaines liées aux opérations sur les nombres réels et complexes. Les démonstrations de ces propriétés découlent des opérations sur les limites.

Dans tout l'article, on note et deux fonctions qu'on suppose dérivables.

LinéaritéModifier

La dérivation est un opérateur linéaire, c'est-à-dire que l'espace des fonctions dérivables est stable par somme et par multiplication de ses éléments par des réels (c'est un espace vectoriel réel), et les relations suivantes sont vérifiées :

 
 .

On en déduit en particulier :

 .

CompositionModifier

La composée de deux fonctions dérivables est dérivable, là où elle est définie (précisément sur l'image réciproque par   du domaine de définition de  ) et se calcule suivant la règle :

 .

Un exemple d'application est la règle de dérivation des puissances :

 

en utilisant le calcul élémentaire de la dérivée de la fonction   (cette règle est donc valide sans restriction si   est un entier positif, mais si   est un entier négatif on se place sur un intervalle où   ne s'annule pas, et si   est un réel non entier, sur un intervalle où   est à valeurs strictement positives).

Un autre exemple d'application est la règle de dérivation des exponentielles :

 .

Appliquée à   (où a est un réel fixé, strictement positif), cette règle donne :  .

Plus généralement, appliquée à  , (où a>0, et u est une application dérivable) :  .

Produit, inverse et quotientModifier

La dérivation est un opérateur différentiel, c'est-à-dire que l'espace des fonctions dérivables est stable par multiplication, et la règle de Leibniz est vérifiée :

 .

Une démonstration est proposée dans Dérivée et opérations sur Wikiversité.

Cette relation permet par exemple de retrouver (par récurrence) la règle de dérivation des puissances (vue plus haut), dans le cas particulier   entier positif :

 .

Un autre cas particulier de cette même règle (pour  , donc sur un intervalle où   ne s'annule pas) est la règle de dérivation de l'inverse :

 .

Cette dernière, combinée à la règle de dérivation du produit, donne la dérivée d'un quotient :

 .

Bijection réciproqueModifier

Soit   une fonction dérivable sur un intervalle réel   et strictement monotone (  réalise alors une bijection de   sur l'intervalle  ).

Pour tout point   de   en lequel   ne s'annule pas, la bijection réciproque   est dérivable en   et :

 .

Par conséquent, si   ne s'annule pas sur  , alors   est dérivable sur   et

 .

Une démonstration est proposée dans Dérivée et opérations sur Wikiversité.