Arc sinus

En mathématiques, l’arc sinus d'un nombre réel compris (au sens large) entre −1 et 1 est l'unique mesure d'angle en radians dont le sinus vaut ce nombre, et comprise entre $-{\frac {\pi }{2}}$ et ${\frac {\pi }{2}}$.

Fonction arc sinus

Représentation graphique de la fonction arc sinus.

Notation	$\arcsin(x)$
Réciproque	$\sin(x)$ sur $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$
Dérivée	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
Primitives	$x\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

Principales caractéristiques

Ensemble de définition	[−1, 1]
Ensemble image	$\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$
Parité	impaire

La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 la valeur de son arc sinus est notée $\arcsin$ ($\operatorname {Arcsin}$ ou $\operatorname {Asin}$ en notation française, et $\sin ^{-1}$, parfois $\operatorname {asin}$ ou $\operatorname {asn}$ , en notation anglo-saxonne).

Il s'agit alors de la bijection réciproque de la restriction de la fonction trigonométrique sinus à l'intervalle $\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]$. Elle fait partie des fonctions circulaires réciproques.

On a donc par définition :

${\begin{cases}\theta =\arcsin x\\x\in [-1;1]\end{cases}}\Longleftrightarrow {\begin{cases}x=\sin \theta \\\theta \in \left[-{\dfrac {\pi }{2}};{\dfrac {\pi }{2}}\right]\end{cases}}$.

Courbe représentative

Dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de la fonction arc sinus est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction sinus à l'intervalle $\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]$ par la réflexion d'axe la droite d'équation $y=x$.

Relations avec les fonctions circulaires directes

• $\sin(\arcsin x)=x$ pour $x\in [-1;1]$ ;
• $\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ pour $x\in [-1;1]$ ;
• $\tan(\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ pour $x\in \left]-1;1\right[$.

Par contre, $\arcsin(\sin x)=x$ seulement pour $x\in \left[-{\dfrac {\pi }{2}},{\dfrac {\pi }{2}}\right]$.

La formule générale est $\arcsin(\sin x)=(-1)^{k}(x-k\pi )$ où $k$ est la partie entière de ${\frac {x}{\pi }}+{\frac {1}{2}}$.

Dérivée

Comme dérivée d'une bijection réciproque, $\arcsin$ est dérivable sur $]-1;1[$ et vérifie : $\arcsin 'x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$. Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque et à la relation : $\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}$.

Développement en série entière

Si $|x|\leqslant 1$,

${\begin{aligned}\arcsin x&=x+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\cdot {\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\cdot {\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\dbinom {2n}{n}}x^{2n+1}}{4^{n}(2n+1)}}.\end{aligned}}$

(Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers.)

Démonstration

Le développement de la dérivée est :

${\begin{aligned}\arcsin '(x)&=(1-x^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\\&=1+\left(-{\frac {1}{2}}\right)(-x^{2})+{\frac {\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {3}{2}}\right)}{2}}(-x^{2})^{2}+{\frac {\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {3}{2}}\right)\left(-{\frac {5}{2}}\right)}{2\cdot 3}}(-x^{2})^{3}+\cdots \\&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}x^{4}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{6}+\cdots ,\end{aligned}}$

d'où le résultat, en « intégrant » terme à terme.

Forme intégrale indéfinie

Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :

$\arcsin x=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t$.

Primitives

Les primitives de l'arc sinus s'obtiennent par intégration par parties :

$\int \arcsin x\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$.

Relation entre arc sinus et arc cosinus

Représentations graphiques d'$\arccos x$ (en bleu) et d'$\arcsin x$ (en rouge).

Pour tout réel $x$ entre −1 et 1 :$\arccos x+\arcsin x={\frac {\pi }{2}}$.

Extension aux complexes

De la relation valable pour tout $z$ complexe : $\sin z=-\mathrm {i} \sinh(\mathrm {i} z)$, on déduit

$\arcsin z=-{\rm {i}}\operatorname {arsinh} ({\rm {i}}z)$.

D'où l'expression de la fonction arc sinus avec un logarithme complexe :$\arcsin z=-{\rm {i}}\ln \left({\rm {i}}z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)$, valable pour $z\in \mathbb {C} \setminus \left]-\infty ,-1\right[\cup \left]1,+\infty \right[$.

Le développement en série $\arcsin z=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}{\frac {z^{2n+1}}{4^{n}(2n+1)}}$ est alors valable pour tout $z$ dans le disque fermé de centre 0 et de rayon 1.

Voir aussi

• Sinus hyperbolique réciproque
• Intégrale de Wallis (pour le développement de ${\tfrac {\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$)
• (en) Eric W. Weisstein, « Inverse Sine », sur MathWorld
• (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), § 4.4, p. 79-83

• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :

  • Britannica
  • Enciclopedia De Agostini
  • Treccani