Cercle circonscrit à un triangle

cercle passant par les 3 sommets d'un triangle non aplati

En géométrie du triangle, le cercle circonscrit à un triangle non plat est l'unique cercle passant par ses trois sommets.

Médiatrices et cercle circonscrit d'un triangle.

Le centre de ce cercle est le point de concours des médiatrices des côtés du triangle.

Propriétés élémentairesModifier

  • Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point Ω équidistant des trois sommets (qui est aussi le centre du cercle circonscrit, voir ci-dessous).
  • Il existe un et un seul cercle passant à la fois par les trois sommets du triangle. Ce cercle de centre Ω est appelé cercle circonscrit au triangle.
 
Cercle circonscrit défini par le théorème de l'angle inscrit.
  • D'après le théorème de l'angle inscrit, le cercle circonscrit au triangle (ABC) est le lieu des points M vérifiant :
     
      désigne l'angle orienté des droites D et D'. On peut permuter les lettres A,B,C dans la relation (1) , ou l'écrire sous la forme :
 
  • Il existe une infinité de triangles dont la base est connue et d'angle au sommet opposé connu, et le lieu de ces sommets forme un cercle.

Centre, rayon et équation cartésienneModifier

CentreModifier

On note Ω le centre du cercle circonscrit, a = BC, b = CA, c = AB les longueur des trois côtés du triangle et   les angles opposés respectivement à chacun de ces trois côtés.

Dans le repère barycentrique  , les coordonnées barycentriques du centre Ω sont  , ou  , ou encore[1]  .

Ses coordonnées trilinéaires sont  .

Ses coordonnées cartésiennes dans un repère orthonormé sont, avec  ,  ,   et   :

 .

(On le démontre en identifiant les coefficients dans les deux équations cartésiennes équivalentes ci-dessous.)

RayonModifier

Son rayon R peut s'exprimer grâce à la loi des sinus :

 

S désigne l'aire du triangle.

On en déduit les expressions symétriques :  p = a + b + c/2 est le demi-périmètre du triangle et  .

Compte tenu de la formule de Héron, on a :  .

La relation d'Euler donne la distance d du centre du cercle circonscrit au centre du cercle inscrit, soit d2 = R2 – 2Rr (où r est le rayon du cercle inscrit)[2].

Équation cartésienneModifier

Dans le plan euclidien, il est possible de donner l'équation cartésienne du cercle circonscrit au triangle.

Le cercle circonscrit est l'ensemble des points   tels que   avec   et   comme ci-dessus, soit

 .

Mais on peut aussi écrire directement cette équation cartésienne (sans calculer au préalable  ,  et  ).

Première écriture, par un déterminantModifier

L'équation cartésienne du cercle circonscrit s'écrit :

 .

Deuxième écriture, complexeModifier

Si   sont les affixes respectives de  , l'équation cartésienne du cercle circonscrit s’obtient en écrivant la nullité de la partie imaginaire de

 

Points remarquables appartenant au cercle circonscrit à un triangleModifier

Appartiennent au cercle circonscrit au triangle :

  • les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés ;
  • les symétriques de l'orthocentre par rapport aux milieux des côtés ;

RéférencesModifier

Articles connexesModifier