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Composition de fonctions

opération fonctionnelle consistant à prendre l'image d'une fonction comme argument d'une autre fonction

En mathématiques, la composition de fonctions (ou composition d'applications) est un procédé qui consiste, à partir de deux fonctions, à en construire une nouvelle. Pour cela, on utilise les images de la première fonction comme arguments pour la seconde (à condition que cela ait un sens). On parle alors de fonction composée (ou d'application composée).

Sommaire

Définition formelleModifier

Soient X, Y et Z trois ensembles quelconques. Soient deux fonctions   et  . On définit la composée de f par g, notée  , par

 

On applique ici f à l'argument x, puis on applique g au résultat.

On obtient ainsi une nouvelle fonction  .

La notation   se lit « g rond f », « f suivie de g » ou encore « g après f ». On note parfois   pour  .

Exemple d'incompatibilité des domainesModifier

Soient les deux fonctions :

 

Ici, l'ensemble d'arrivée de f est  . Or l'ensemble de départ de g est   (il n'existe pas de nombre réel dont le carré soit strictement négatif). Stricto sensu, la fonction   n'a donc pas de sens ici et seule   en a un, où f1 est la fonction suivante, obtenue par restriction-corestriction de f :

 

PropriétésModifier

Ici, on ne se préoccupe pas des problèmes de compatibilité des domaines des fonctions considérées.

  • La composition de fonctions n'est généralement pas commutative : 
  • La composition de fonctions est associative : 
  • La composition de fonctions n'est généralement pas distributive (sur un opérateur quelconque  ) : 
  • Si la fonction f est continue en x0 et la fonction g est continue en f(x0) alors   est continue en x0.
  • Composition de deux fonctions f et g strictement monotones (le sens de variation obéit à une sorte de règle des signes) :
    • si f et g ont même sens de variation, leur composée est strictement croissante ;
    • si f et g ont des sens de variation différents, leur composée est strictement décroissante.
  • Dérivée d'une composition de fonctions dérivables : Voir l'article « Théorème de dérivation des fonctions composées ».
  • Réciproque d'une composée : 

Puissances fonctionnellesModifier

On conserve les notations ci-dessus. Si   alors   peut être composée avec elle-même et la composée est notée  . Ainsi

 
 

et de manière plus générale :

 .

On pose

 

  est l'application identité de l'ensemble  .

On peut étendre cette notation aux exposants entiers négatifs, à condition de supposer la fonction   bijective (de   dans lui-même). Alors,   désigne l'application réciproque et pour tout entier  ,   est la composée de   par elle-même n fois.

Attention à ne pas confondre cette notation avec la puissance d'une fonction pour la multiplication des applications. Par exemple, sin2 désigne couramment le carré de la fonction sinus :

 .

Il y a aussi une confusion possible entre l'inverse d'une fonction pour la multiplication et l'application réciproque.

On peut également s'intéresser aux racines carrées fonctionnelles, c'est-à-dire que l'on cherche, pour une fonction g donnée, une fonction f satisfaisant f(f(x)) = g(x) pour tout x. On note alors  .

Autre notationModifier

Au milieu du XXe siècle, quelques mathématiciens[réf. nécessaire] trouvèrent que la notation   portait à confusion et décidèrent d'utiliser une notation post-fixée : xf pour f(x) et xfg pour  .

TypographieModifier

Le caractère Unicode « rond », « ∘ », est le caractère U+2218. En LaTeX, ce caractère est obtenu par la commande \circ.

Voir aussiModifier

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