Radian

« Rad » redirige ici. Pour les autres significations, voir RAD.

Radian
Définition de l'angle en radians.
Informations
Système	Unités dérivées du Système international
Unité de…	Angle plan
Symbole	rad
Conversions
1 rad en...	est égal à...
tour complet	2π rad

Le radian (symbole : rad) est l'unité dérivée du Système international qui mesure les angles plans. Bien que le mot « radian » ait été inventé au cours des années 1870 par Thomas Muir et James Thomson, les mathématiciens mesuraient depuis longtemps les angles en prenant pour unité le rapport entre la circonférence et la longueur du rayon.

Définition

Considérons un secteur angulaire, formé de deux droites concourantes distinctes, et un cercle de rayon r tracé dans un plan contenant ces deux droites, dont le centre est le point d'intersection des droites. Alors, la valeur de l'angle en radians est le rapport entre la longueur L de l'arc de cercle intercepté par les droites et le rayon r.

Un angle d'un radian intercepte sur la circonférence de ce cercle un arc d'une longueur égale au rayon. Un cercle complet représente un angle de 2π radians, appelé angle plein.

L'utilisation des radians est impérative lorsque l'on dérive ou intègre une fonction trigonométrique ou encore lorsque l'on utilise un développement limité de cette fonction trigonométrique : en effet, l'angle pouvant se retrouver en facteur, seule la valeur en radians a un sens. De ce fait, le calcul des fonctions trigonométriques par une série de Taylor suppose l'expression des angles en radians, tout comme l'application de la formule d'Euler, qui l'a posée en spécifiant que les angles devaient être mesurés par la longueur en rayons de l'arc qu'ils interceptent, plus d'un siècle avant l'invention du terme radian.

Petits angles

Pour les petits angles exprimés en radians, sin x ≈ tan x ≈ x.

• Pour un angle de valeur inférieure à 0,17 radian (soit ~10°), l'erreur est de moins de 1 % ;
• Pour un angle de valeur inférieure à 0,05 radian (soit ~3°), l'erreur est de moins de 0,1 %.

Dans le domaine de la topographie, où on traite d'angles faibles, on utilise le mil angulaire, une unité pratique, définie comme l'angle qu'intercepte une longueur de 1 mm à une distance de 1 m. Elle sert, par exemple, à déterminer la distance d'une mire de hauteur connue par la mesure de sa taille apparente. Dans les conditions où elle sert, cette unité s'identifie avec un milliradian.

Relations entre grades, degrés et radians

Diagramme pour la conversion entre degrés et radians.

Un tour complet équivaut à 2π radians, 360 degrés, 400 grades.

Par conséquent,

• Un radian vaut environ 57,3° ou 57° 18' (360°÷2π) ;
• un degré vaut approximativement 17,5 milliradians.

Les formules de conversion entre les degrés et les radians sont :

$\theta _{deg}=\theta _{rad}\cdot {180 \over \pi }$

.

$\theta _{rad}=\theta _{deg}\cdot {\pi \over 180}$.

Les formules de conversion entre les grades et les radians sont :

$\theta _{gra}=\theta _{rad}\cdot {200 \over \pi }$

.

$\theta _{rad}=\theta _{gra}\cdot {\pi \over 200}$.

Quelques angles particuliers en radians, grades, degrés et tours :

nom de l'angle	valeur en radians	valeur en grades	valeur en degrés	valeur en tours
angle nul	0 rad	0 gon	0°	0 tr
milliradian	0,001	0,063 661 977 gon	0° 3′ 26″ 16‴ soit 0,0573°	0,00015915494 tr
	π/6 rad	33,333 333 gon	30°	0,08333 tr (1/12 tr)
	π/4 rad	50 gon	45°	0,125 tr (1/8 tr)
radian	1 rad	63,661 977 gon	57° 17′ 44″ 48‴	0,1591549430919 tr (1/π/2 tr)
	π/3 rad	66,666 666 gon	60°	0,1666 tr (1/6 tr)
angle droit	π/2 rad	100 gon	90°	0,25 tr
	2π/3 rad	133,333 333 gon	120°	0,333 tr
	3π/4 rad	150 gon	135°	0,375 tr
angle plat	π rad	200 gon	180°	0,5 tr
	5π/4 rad	250 gon	225°	0,625 tr
	3π/2 rad	300 gon	270°	0,75 tr
	7π/4 rad	350 gon	315°	0,875 tr
angle plein	2π rad	400 gon	360°	1 tr

Voir aussi

Bibliographie

• Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck, 2013, « Radian », p. 569

Articles connexes

• Angle
• Mil angulaire
• Degré (angle)
• Grade (angle)