Arc cosinus

En mathématiques, l’arc cosinus d'un nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 est l'unique mesure d'angle dont le cosinus vaut ce nombre, entre l'angle nul et l'angle plat.

Fonction arc cosinus
Image dans Infobox.
Représentation graphique (dans un repère non normé).
Notation
Réciproque
sur [0 ; π]
Dérivée
Primitives
Principales caractéristiques
Ensemble de définition
[−1 ; 1]
Ensemble image
[0 ; π]

La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 la valeur de son arc cosinus en radians est notée arccos (Arccos[1] ou Acos en notation française, et cos−1, parfois acos ou acs, en notation anglo-saxonne).

Il s'agit alors de la réciproque de la fonction trigonométrique cosinus sur l'intervalle [0, π] donc, dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de arc cosinus s'obtient à partir de la courbe de la restriction du cosinus par la symétrie d'axe la droite d'équation y = x.

DéfinitionModifier

La fonction   est définie comme la fonction réciproque de   sur  , c'est-à-dire qu'il s'agit de l'unique fonction telle que :

 

PropriétésModifier

Relations trigonométriquesModifier

Non paritéModifier

Contrairement aux fonctions Arc sinus et Arc tangente, la fonction   n'admet aucune parité. En revanche, elle possède la propriété suivante :

 

Relation avec le sinusModifier

Il suffit d'utiliser la relation   avec   pour obtenir la relation suivante :

 

« Inversion » des formules trigonométriquesModifier

Partant de n'importe quelle formule trigonométrique, on peut « l'inverser », obtenant une relation entre valeurs des fonctions réciproques, mais qui ne sera le plus souvent valable que dans des intervalles restreints. Par exemple, puisque  , on aura  , mais seulement pour  

DérivéeModifier

Comme dérivée d'une fonction réciproque,   est dérivable sur   et vérifie

 

Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une fonction réciproque.

Forme intégrale indéfinieModifier

Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :

 

PrimitivesModifier

Les primitives de la fonction arccos s'obtiennent par intégration par parties :

 

Relation entre arc cosinus et arc sinusModifier

 
arccos(x) (bleu) et arcsin(x) (rouge)
 .

En effet, π/2arccos x est compris entre –π/2 et π/2 et son sinus est égal au cosinus de arccos x c'est-à-dire à x, donc π/2arccos x = arcsin x.

(Pour une autre méthode, voir le § « Monotonie et signe de la dérivée » de l'article sur les fonctions monotones.)

Forme logarithmique complexeModifier

On peut exprimer la fonction arccos à l’aide du logarithme complexe :

 

RéférenceModifier

Voir aussiModifier

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Articles connexesModifier