Arc cosinus

En mathématiques, l’arc cosinus d'un nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 est l'unique mesure d'angle dont le cosinus vaut ce nombre, entre l'angle nul et l'angle plat.

Fonction arc cosinus
Arccos, cos, and identity.svg
Représentation graphique (dans un repère non normé).
Notation
Réciproque
sur [0 ; π]
Dérivée
Primitives
Principales caractéristiques
Ensemble de définition
[−1 ; 1]
Ensemble image
[0 ; π]

La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 la valeur de son arc cosinus en radians est notée arccos (Arccos[1] ou Acos en notation française, et cos−1, parfois acos ou acs, en notation anglo-saxonne).

Il s'agit alors de la réciproque de la fonction trigonométrique cosinus sur l'intervalle [0, π] donc, dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de arc cosinus s'obtient à partir de la courbe de la restriction du cosinus par la symétrie d'axe la droite d'équation y = x.

DérivéeModifier

Comme dérivée d'une fonction réciproque, arccos est dérivable sur ]–1, 1[ et vérifie

 

Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une fonction réciproque et à la relation

 

Forme intégrale indéfinieModifier

Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :

 

PrimitivesModifier

Les primitives de l'arc cosinus s'obtiennent par intégration par parties :

 

Relation entre arc cosinus et arc sinusModifier

 
arccos(x) (bleu) et arcsin(x) (rouge)
 

En effet, π/2arccos x est compris entre –π/2 et π/2 et son sinus est égal au cosinus de arccos x c'est-à-dire à x, donc π/2arccos x = arcsin x.

(Pour une autre méthode, voir le § « Monotonie et signe de la dérivée » de l'article sur les fonctions monotones.)

Forme logarithmiqueModifier

On peut exprimer la fonction arc cosinus avec un logarithme complexe :

 

RéférenceModifier

Voir aussiModifier

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Articles connexesModifier