Bijection réciproque

Application inverse d'une bijection pour la composition
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En mathématiques, la bijection réciproque (ou fonction réciproque ou réciproque) d'une bijection est l'application qui associe à chaque élément de l'ensemble d'arrivée son unique antécédent par . Elle se note .

Exemple

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On considère[1] l'application   de   vers   définie par  .

Pour chaque réel  , il y a un et un seul réel   tel que  , ainsi pour  , le seul   convenable est 2, en revanche, pour   c'est –3. En termes mathématiques, on dit que   est l'unique antécédent de   et que   est une bijection.

On peut alors considérer l'application qui envoie   sur son antécédent, qu'on appelle dans cet exemple la racine cubique de   : c'est elle qu'on nomme la « réciproque » de la bijection  .

Si on tente d'effectuer la même construction pour la racine carrée et qu'on considère l'application   de   vers   définie par  , les choses ne se passent pas si simplement. En effet, pour certaines valeurs de  , il y a deux valeurs de   tels que   ; ainsi, pour  , on peut choisir   mais aussi  , puisque 22 = 4 mais aussi (–2)2 = 4.

À l'inverse, pour d'autres choix de  , aucun   ne convient ; ainsi pour , l'équation   n'a aucune solution réelle. En termes mathématiques, on dit que   n'est ni injective ni surjective. Dans cet exemple, les définitions qui suivent ne permettent pas de parler de « bijection réciproque » (ni même d'« application réciproque ») de  .

Résultats généraux

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Définition

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La réciproque de la bijection   de   vers   est la fonction   qui de   retourne vers  .

Si   est une bijection d'un ensemble   vers un ensemble  , cela veut dire (par définition des bijections) que tout élément   de   possède un antécédent et un seul par  . On peut donc définir une application   allant de   vers  , qui à   associe son unique antécédent, c'est-à-dire que  .

L'application   est une bijection, appelée bijection réciproque de  .

La bijection réciproque de   est souvent notée[2]  , en prenant garde à la confusion possible avec la notation des exposants négatifs, pour laquelle on a  .

Propriétés

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Caractérisation

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Si   est une application d'un ensemble   vers un ensemble   et s'il existe une application   de   vers   telle que   et  , alors   et   sont des bijections, et   est la bijection réciproque de  .

Réciproque de la réciproque

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La double propriété   et   montre que   est aussi la bijection réciproque de  , c'est-à-dire que  .

Réciproque d'une composée

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La réciproque de   est  .

La réciproque de la composée de deux bijections est donnée par la formule :  .

On peut remarquer que l'ordre de   et   a été inversé ; pour « défaire »   suivi de  , il faut d'abord « défaire »   puis « défaire »  .

Involution

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Certaines bijections de   vers   sont leur propre réciproque, c'est le cas par exemple de l'application inverse :

 
ou de toute symétrie orthogonale dans le plan.

De telles applications sont dites involutives.

Réciproque d'une fonction numérique

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Existence

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Le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire, le théorème de la bijection, assurent que toute application continue strictement monotone sur un intervalle   détermine une bijection de   sur   et que   est aussi un intervalle. Cela signifie qu'une telle fonction possède une application réciproque définie sur   à valeurs dans  .

Cette propriété permet la création de nouvelles fonctions définies comme application réciproque de fonctions usuelles.

Exemples

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Fonction   Départ et arrivée Fonction réciproque Départ et arrivée Notes
Puissance  
 
  Racine n-ième
 
    entier naturel non nul
Exponentielle
 
  Logarithme naturel
 
 
Exponentielle de base  
 
  Logarithme de base a
 
    réel strictement positif
Puissance  
 
  Puissance 1/α
 
    réel non nul
Sinus
 
  Arc sinus
 
 
Cosinus
 
  Arc cosinus
 
 
Tangente
 
  Arc tangente
 
 

À l'aide de ces fonctions, la recherche de l'application réciproque consiste à résoudre l'équation  , d'inconnue    :

La fonction   est une bijection de   sur   et possède une application réciproque que l'on cherche à déterminer en résolvant, pour   dans  , l'équation  , ou encore  . Puisque  , cette équation possède deux solutions dont une seule appartenant à l'intervalle   :  . Donc la réciproque de   est   définie par  .

Cette recherche peut se révéler infructueuse et nécessiter la création d'une fonction nouvelle. Ainsi, la fonction   est une bijection de   vers   ; l'équation correspondante   n'a pas de solution exprimable à l'aide des fonctions usuelles, ce qui oblige, pour exprimer  , à définir une nouvelle fonction, ici la fonction W de Lambert.

 
Courbes d'équations   et  . La droite en pointillés a pour équation  .

Lorsque deux fonctions sont réciproques l'une de l'autre, alors leurs représentations graphiques dans un plan muni d'un repère orthonormal sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite   d'équation   (appelée aussi première bissectrice).

En effet, si   est un point du graphe de  , alors   donc   donc   est un point du graphe de  . Or le point   est le symétrique du point   par rapport à la droite  , pour les deux raisons suivantes :

Le milieu du segment   est sur la droite  , et d'autre part, le vecteur   est orthogonal au vecteur de coordonnées  , qui est un vecteur directeur de la droite   (leur produit scalaire canonique est nul).

On sait donc que le symétrique de   par rapport à   est un point du graphe de  . Un raisonnement analogue prouve que si   est un point du graphe de  , alors son symétrique par rapport à   est un point du graphe de  .

Continuité

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En général, la réciproque d'une fonction continue n'est pas continue mais la réciproque d'une fonction continue sur un intervalle   à valeurs dans un intervalle   est une fonction continue sur  , selon le théorème de la bijection.

Dérivabilité

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Si   est une fonction continue sur un intervalle   à valeurs dans un intervalle   et si   est sa réciproque, la fonction   est dérivable en tout point   tant que   admet en   une dérivée non nulle.

La dérivée en   de   est alors  .

Un moyen simple de comprendre ce phénomène, mais non de le démontrer, est d'utiliser les notations différentielles et de remarquer que  .

On trouve une démonstration dans l'article Dérivée et opérations sur Wikiversité.

Recherche graphique ou numérique d'une réciproque

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Il n'est pas toujours possible de déterminer la réciproque de manière analytique : on sait calculer  , mais on ne sait pas calculer  . On peut alors utiliser une méthode graphique ou une approximation numérique.

La méthode graphique consiste à tracer la courbe représentative  . Pour rechercher  , on cherche le point de la courbe dont l'ordonnée est   et on lit son abscisse. Pour ce faire, on trace la droite d'ordonnée   concernée, on recherche l'intersection de cette droite avec la courbe, et l'on trace la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par cette intersection. Le point d'intersection de cette droite avec l'axe des abscisses donne la valeur   recherchée. C'est le principe d'un grand nombre d'abaques.

Numériquement, rechercher   revient à rechercher les racines de la fonction  .

Si l'on sait que le domaine de recherche — intervalle des   possibles — est « restreint » et que la fonction est dérivable sur cet intervalle, on peut linéariser la fonction, c'est-à-dire la remplacer par une fonction affine obtenue par un développement limité au voisinage d'un point   de cet intervalle :

 

On a ainsi une approximation de la solution, si   :

 
C'est la démarche de l'algorithme de Newton, mais avec une seule itération.

On peut également utiliser une fonction d'approximation plus complexe mais néanmoins inversible.

Exemples de réciproques de transformations du plan

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Les transformations du plan sont les applications bijectives du plan ; il est donc intéressant d'en connaître les réciproques, du moins pour les transformations de référence.

Transformation Transformation réciproque
Translation de vecteur   Translation de vecteur  
Symétrie de centre   ou d'axe   Symétrie de centre   ou d'axe  
Homothétie de centre   et de rapport k Homothétie de centre   et de rapport 1/k
Rotation de centre   et d'angle   Rotation de centre   et d'angle  
Similitude directe de centre  , de rapport   et d'angle   Similitude directe de centre  , de rapport   et d'angle  
Similitude indirecte de centre  , de rapport   et d'axe   Similitude indirecte de centre  , de rapport   et d'axe  
Symétrie glissée d'axe   et de vecteur   Symétrie glissée d'axe   et de vecteur  
Affinité d'axe   de direction   et de rapport   Affinité d'axe   de direction   et de rapport  

Réciproques en algèbre

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En algèbre, un morphisme bijectif de groupes, d'anneaux, de corps, d'espaces vectoriels admet une application réciproque qui est aussi un morphisme de même type. L'application et sa réciproque sont appelés des isomorphismes.

Dans le cas d'une application   linéaire d'un espace vectoriel   vers un espace vectoriel  , tous deux de dimension finie et munis de bases,   est bijective si et seulement si sa matrice   dans les bases fixées est une matrice carrée inversible. La matrice dans ces bases de la réciproque de   est alors la matrice inverse de  , notée  .

Quelques concepts apparentés

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Soit   une application.

  • Même lorsque   n'est pas bijective, il est possible de définir une relation binaire réciproque, de   dans  , qui à tout élément de   associe ses antécédents par   (donc rien si cet élément n'a pas d'antécédents). On parle alors de réciproque multiforme. L'application   est bijective si et seulement si cette relation réciproque est une application, et dans ce cas, cette application est bien l'application réciproque de  .
    On définit plus généralement la réciproque d'une multifonction quelconque ou, ce qui revient au même, la réciproque d'une relation binaire.
  • Pour qu'il existe des inverses à gauche de  , c'est-à-dire des applications   telles que  , il faut et il suffit que   soit injective.
    Pour qu'il existe des inverses à droite de  , c'est-à-dire des applications   telles que  , il faut et (en admettant l'axiome du choix) il suffit que   soit surjective.

La fonction réciproque d'une fonction   ne doit pas être confondue avec la fonction inverse de  . Cette confusion est fréquente du fait de la notation[2] commune  , et parce que le terme anglais reciprocal se traduit souvent par inverse en français, tandis que l'adjectif anglais inverse se traduit parfois par réciproque en français.

Théorème d'inversion locale

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Le théorème d'inversion locale précise les conditions d'existence locale d'une application réciproque pour une fonction  . C'est une généralisation d'un théorème simple sur les fonctions de la variable réelle.

Théorème — Si   est définie sur un intervalle   et si   est un élément de  , si   possède en   une dérivée continue non nulle, alors il existe un intervalle   autour de  , un intervalle   autour de   et une fonction   définie sur   qui soit l'application réciproque de la restriction de   à  . Cette application réciproque est aussi dérivable en  .

Le théorème d'inversion locale généralise cette propriété à des fonctions définies sur des espaces vectoriels réels de dimension finie. La condition «   non nulle » est alors remplacée par « le jacobien de   en   est non nul ». De plus, si   est de classe  , l'application réciproque l'est aussi.


Notes et références

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  1. L'exemple de la racine cubique est celui choisi par Jacques Dixmier dans son Cours de mathématiques du 1er cycle, Gauthier-Villars, 1967, p. 9.
  2. a et b Ce choix de notation s'explique par le fait que la loi de composition  , restreinte aux permutations d'un ensemble, est une loi de groupe, et que ce groupe est noté multiplicativement. C'est cependant une ambiguïté de notation assez gênante pour que les logiciels de calcul formel séparent ces deux notions ; ainsi, Maple note l'inverse f^(-1) et la bijection réciproque f@@(–1).