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Bijection réciproque

Application inverse d'une bijection pour la composition
(Redirigé depuis Fonction réciproque)

ExempleModifier

On considère[1] l'application ƒ de R vers R définie par :

ƒ(x) = x3.

Pour chaque réel y, il y a un et un seul réel x tel que

y = x3 = ƒ(x),

ainsi pour y = 8, le seul x convenable est 2, en revanche, pour y = –27 c'est –3. En termes mathématiques, on dit que x est l'unique antécédent de y et que ƒ est une bijection.

On peut alors considérer l'application qui envoie y sur son antécédent, qu'on appelle dans cet exemple la racine cubique de y : c'est elle qu'on nomme la « réciproque » de la bijection ƒ.

Si on tente d'effectuer la même construction pour la racine carrée et qu'on considère l'application g de R vers R définie par :

g(x) = x2,

les choses ne se passent pas si simplement. En effet, pour certaines valeurs de y, il y a deux valeurs de x tels que g(x) = y ; ainsi, pour y = 4, on peut choisir x = 2 mais aussi x = –2, puisque 22 = 4 mais aussi (–2)2 = 4. À l'inverse, pour d'autres choix de y, aucun x ne convient ; ainsi pour y = –1, l'équation x2 = –1 n'a aucune solution réelle. En termes mathématiques, on dit que g n'est ni injective ni surjective. Dans cet exemple, les définitions qui suivent ne permettent pas de parler de « bijection réciproque » (ni même d'« application réciproque ») de g.

Résultats générauxModifier

DéfinitionModifier

 
La réciproque de la bijection ƒ de X vers Y est la fonction ƒ−1 qui de Y retourne vers X.

Si ƒ est une bijection d'un ensemble X vers un ensemble Y, cela veut dire (par définition des bijections) que tout élément y de Y possède un antécédent et un seul par ƒ. On peut donc définir une application g allant de Y vers X, qui à y associe son unique antécédent, c'est-à-dire que

ƒ(g(y)) = y.

L'application g est une bijection, appelée bijection réciproque de ƒ.

De façon plus générale, et en utilisant les notations fonctionnelles, si ƒ est une application d'un ensemble X vers un ensemble Y et s'il existe une application g de Y vers X telle que :

  et  ,

alors ƒ et g sont des bijections, et g est la bijection réciproque de ƒ.

La bijection réciproque de ƒ est souvent notée ƒ−1, en prenant garde à la confusion possible[2] avec la notation des exposants négatifs, pour laquelle on a x−1 = 1/x.

PropriétésModifier

Réciproque de la réciproqueModifier

La double propriété :

  et  

montre que ƒ est aussi la bijection réciproque de ƒ−1, c'est-à-dire que

 

Réciproque d'une composéeModifier

 
La réciproque de g ∘ ƒ est ƒ−1g−1.

La réciproque de la composée de deux bijections est donnée par la formule

 

On peut remarquer que l'ordre de ƒ et g a été inversé ; pour « défaire » ƒ suivi de g, il faut d'abord « défaire » g puis « défaire » ƒ.

InvolutionModifier

Certaines bijections de E vers E sont leur propre réciproque, c'est le cas par exemple de l'application inverse

 

ou de toute symétrie orthogonale dans le plan.

De telles applications sont dites involutives.

Réciproque d'une fonction numériqueModifier

ExistenceModifier

Le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire, le théorème de la bijection, assurent que toute application continue strictement monotone sur un intervalle I détermine une bijection de I sur ƒ(I) = J et que J est aussi un intervalle. Cela signifie qu'une telle fonction possède une application réciproque définie sur J à valeurs dans I.

Cette propriété permet la création de nouvelles fonctions définies comme application réciproque de fonctions usuelles.

ExemplesModifier

Fonction ƒ(x) Départ et arrivée Fonction réciproque Départ et arrivée Notes
          entier naturel non nul
       
          réel strictement positif
          réel non nul
       
       
       

À l'aide de ces fonctions, la recherche de l'application réciproque consiste à résoudre l'équation ƒ(x) = y, d'inconnue x :

La fonction   est une bijection de ]–∞, 0] sur [3, +∞[ et possède une application réciproque que l'on cherche à déterminer en résolvant, pour y dans [3, +∞[, l'équation x2 + 3 = y, ou encore x2 = y – 3. Puisque y ≥ 3, cette équation possède deux solutions dont une seule appartenant à l'intervalle ]–∞, 0] : x = –y – 3. Donc la réciproque de ƒ est ƒ−1 définie par ƒ−1(y) = –y – 3.

Cette recherche peut se révéler infructueuse et nécessiter la création d'une fonction nouvelle. Ainsi, la fonction   est une bijection de [0, +∞[ vers [0, +∞[ ; l'équation correspondante   n'a pas de solution exprimable à l'aide des fonctions usuelles, ce qui oblige, pour exprimer x = ƒ−1(y), à définir une nouvelle fonction, la fonction W de Lambert.

GrapheModifier

 
Courbes d'équations y = ƒ(x) et y = ƒ−1(x). la droite en pointillés a pour équation y = x.

Lorsque deux fonctions sont réciproques l'une de l'autre, alors leurs représentations graphiques dans un plan muni d'un repère orthonormal sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite (D) d'équation y = x (appelée aussi première bissectrice).

En effet, si M(x, y) est un point du graphe de ƒ, alors y = ƒ(x) donc x = ƒ−1(y) donc M'(y, x) est un point du graphe de ƒ−1. Or le point M'(y, x) est le symétrique du point M(x, y) par rapport à la droite (D), pour les deux raisons suivantes :

Le milieu du segment [M, M'] est sur la droite (D), et d'autre part, le vecteur   est orthogonal au vecteur de coordonnées (1, 1), qui est un vecteur directeur de la droite (D) (leur produit scalaire canonique est nul).

On sait donc que s(M) est un point du graphe de ƒ−1. Un raisonnement analogue prouve que si M est un point du graphe de ƒ−1, alors s(M) est un point du graphe de ƒ.

ContinuitéModifier

En général, la réciproque d'une fonction continue n'est pas continue mais la réciproque d'une fonction continue sur un intervalle I à valeurs dans un intervalle J est une fonction continue sur J, selon le théorème de la bijection.

DérivabilitéModifier

Si   est une fonction continue sur un intervalle   à valeurs dans un intervalle   et si   est sa réciproque, la fonction   est dérivable en tout point   tant que   admet en   une dérivée non nulle.

La dérivée en   de   est alors

 .

Un moyen simple de comprendre, mais non de démontrer, ce phénomène est d'utiliser les notations différentielles et de remarquer que :

 

On trouve une démonstration dans l'article Dérivée et opérations sur Wikiversité.

Recherche graphique ou numérique d'une réciproqueModifier

Il n'est pas toujours possible de déterminer la réciproque de manière analytique : on sait calculer  , mais on ne sait pas calculer  . Il faut alors utiliser une méthode graphique ou numérique.

La méthode graphique consiste à tracer la courbe représentative  . On trace la droite d'ordonnée   concernée, on recherche l'intersection de cette droite avec la courbe, et l'on trace la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par cette intersection. Le point d'intersection de cette droite avec l'axe des abscisses donne la valeur   recherchée. C'est le principe d'un grand nombre d'abaques.

Numériquement, rechercher   revient à rechercher les racines de la fonction

 
Articles détaillés : Algorithme de Newton et Méthode de dichotomie.

Si l'on sait que le domaine de recherche — intervalle des x possibles — est « restreint » et que la fonction est dérivable sur cet intervalle, on peut linéariser la fonction, c'est-à-dire la remplacer par une fonction affine obtenue par un développement limité

 

On a ainsi une approximation de la solution, si   :

 

C'est la démarche de l'algorithme de Newton, mais avec une seule itération.

On peut également utiliser une fonction d'approximation plus complexe mais néanmoins inversible.

Article détaillé : Théorie de l'approximation.

Exemple de réciproque de transformation du planModifier

Les transformations du plan sont les applications bijectives du plan ; il est donc intéressant d'en connaître les réciproques, du moins pour les transformations de référence.

Transformation Transformation réciproque
Translation de vecteur   Translation de vecteur  
Symétrie de centre O ou d'axe (D) Symétrie de centre O ou d'axe (D)
Homothétie de centre C et de rapport k Homothétie de centre C et de rapport 1/k
Rotation de centre C et d'angle θ Rotation de centre C et d'angle –θ
Similitude directe de centre C, de rapport k et d'angle θ Similitude directe de centre C, de rapport 1/k et d'angle –θ
Similitude indirecte de centre C, de rapport k et d'axe (D) Similitude indirecte de centre C, de rapport 1/k et d'axe (D)
Symétrie glissée d'axe (D) et de vecteur   Symétrie glissée d'axe (D) et de vecteur  
Affinité d'axe (D) de direction (D') et de rapport k Affinité d'axe (D) de direction (D') et de rapport 1/k

Réciproques en algèbreModifier

En algèbre linéaire, un morphisme bijectif de groupes, d'anneaux, de corps, d'espaces vectoriels admet une application réciproque qui est aussi un morphisme de même type. L'application et sa réciproque sont appelés des isomorphismes.

Dans le cas d'une application ƒ linéaire d'un espace vectoriel E vers un espace vectoriel F, tous deux de dimension finie et munis de bases, ƒ est bijective si et seulement si sa matrice M dans les bases fixées est une matrice carrée inversible. La matrice dans ces bases de la réciproque de ƒ est alors la matrice inverse de M, notée M−1.

Quelques concepts apparentésModifier

Soit ƒ : XY une application.

  • Même lorsque ƒ n'est pas bijective, il est possible de définir une relation binaire réciproque, de Y dans X, qui à tout élément de Y associe ses antécédents par ƒ (donc rien si cet élément n'a pas d'antécédents). On parle alors de réciproque multiforme. L'application ƒ est bijective si et seulement si cette relation réciproque est une application, et dans ce cas, cette application est bien l'application réciproque de ƒ.
    On définit plus généralement la réciproque d'une multifonction quelconque ou, ce qui revient au même, la réciproque d'une relation binaire.
  • Pour qu'il existe des inverses à gauche de ƒ, c.-à-d. des applications g telles que  , il faut et il suffit que ƒ soit injective.
    Pour qu'il existe des inverses à droite de ƒ, c.-à-d. des applications g telles que  , il faut et (en admettant l'axiome du choix) il suffit que ƒ soit surjective.

Théorème d'inversion localeModifier

Le théorème d'inversion locale précise les conditions d'existence locale d'une application réciproque pour une fonction ƒ. C'est une généralisation d'un théorème simple sur les fonctions de la variable réelle.

Si ƒ est définie sur un intervalle I et si a est un élément de I, si ƒ possède en a une dérivée continue non nulle
alors il existe un intervalle Ia autour de a, un intervalle Jƒ(a) autour de ƒ(a) et une fonction ƒ−1 définie sur Jƒ(a) qui soit l'application réciproque de la restriction de ƒ à Ia.
Cette application réciproque est aussi dérivable en ƒ(a).

Le théorème d'inversion locale généralise cette propriété à des fonctions définies sur des espaces vectoriels réels de dimension finie. La condition « ƒ'(a) non nulle » est alors remplacée par « le jacobien de ƒ en a est non nul ». De plus, si ƒ est de classe Ck, l'application réciproque l'est aussi.

Notes et référencesModifier

  1. L'exemple de la racine cubique est celui choisi par Jacques Dixmier dans son Cours de mathématiques du 1er cycle, Gauthier-Villars, 1967, p. 9.
  2. Ce choix de notation s'explique parce que la loi de composition   a beaucoup de propriétés communes avec une multiplication. C'est cependant un abus de notation assez grave pour que les logiciels de calcul formel séparent ces deux notions ; ainsi, Maple note l'inverse f^(-1) et la bijection réciproque f@@(–1).