Fonction inverse

fonction mathématique

En mathématiques, la fonction inverse est la fonction qui à tout réel non nul associe son inverse, noté . Elle se note de la manière suivante :

Fonction inverse
Courbe représentative de la fonction .
Notation
Réciproque
Dérivée
Primitives
Principales caractéristiques
Ensemble de définition
Ensemble image
Parité
impaire
Valeurs particulières
Limite en +∞
0
Limite en −∞
0
Particularités
Asymptotes

Points fixes
−1 ; 1

Variations

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Cette fonction est strictement décroissante sur l'intervalle   des réels strictement négatifs, puis strictement décroissante sur l'intervalle   des réels strictement positifs, avec 0 comme « valeur interdite » (pôle). Mais elle n'est pas strictement décroissante sur   car si  , on conserve l'inégalité  .

La fonction inverse ne s'annule pas et n'admet pas de maximum ou minimum sur  , ni même sur   ou sur  .

Elle a pour limite 0 en   et en  . Cette fonction permet donc de modéliser un certain nombre de comportements qui décroissent mais qui présentent une « borne inférieure » (les fonctions ne tendent pas vers  ), comme la gravitation et la force électrostatique qui sont en  .

En 0, sa limite à gauche vaut   et à droite,  .

Représentation graphique

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La représentation graphique de la fonction inverse est une hyperbole.

L'hyperbole d'équation   admet deux asymptotes : une horizontale (l'axe des abscisses, d'équation  ) et une verticale (l'axe des ordonnées, d'équation  ). Ces deux asymptotes étant (dans un repère orthonormal) perpendiculaires, l'hyperbole est dite équilatère (son excentricité vaut  ).

On remarque d'autre part que le centre de symétrie de cette hyperbole est le point  , ce qui traduit le fait que la fonction inverse est une fonction impaire.

On remarque enfin que cette hyperbole ( ) possède deux axes de symétrie dont la droite d'équation  . En effet le point   appartient à ( ) si et seulement si le point   appartient à ( ) (  équivaut à  . Cette propriété graphique permet de remarquer que la fonction inverse est une involution, c'est-à-dire une bijection qui est sa propre réciproque :  . Ou bien encore, pour tout réel   non nul, l'inverse de l'inverse de   est égal à  .

Continuité de la fonction inverse

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La fonction inverse est continue (sur ℝ*)[1].

Dérivée de la fonction inverse

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La fonction inverse est même dérivable ; sa dérivée est la fonction   définie par :

 

Illustration :

 

La dérivée de   au point d'abscisse 1 vaut   donc la pente de la tangente à la courbe de la fonction inverse au point de coordonnées   vaut –1.

La fonction inverse est concave sur l'intervalle   et convexe sur  .

Primitives de la fonction inverse

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Le logarithme naturel, ou logarithme népérien, noté  , est défini dans l'article détaillé comme la fonction de   dans   dont la dérivée est la fonction inverse, et dont la valeur en 1 est 0. Les primitives sur   de la fonction inverse sont donc les fonctions de la forme  , où   est une constante réelle arbitraire.

Fonction inverse abstraite

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On peut définir de manière générale une fonction inverse   dans un groupe   par

 

L'inverse permet donc d'étendre aux exposants entiers négatifs la notion de puissance d'un nombre (ou d'un élément d'un groupe) en posant, pour tout entier   positif :  .

Extension à d'autres groupes

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Plan complexe

La fonction inverse peut donc être étendue sur le plan complexe privé de l'origine par :

 
Quaternions

La fonction inverse peut donc être définie pour tout quaternion non nul (au moins une des quatre composantes   est non nulle) :

 

Références

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  1. Jean Dieudonné, Éléments d'analyse, t. I : Fondements de l'analyse moderne, Paris, Gauthier-Villars, , p. 80.

Voir aussi

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Liens externes

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(en) Eric W. Weisstein, « Multiplicative Inverse », sur MathWorld