Fonction inverse

En mathématiques, la fonction inverse est la fonction qui à tout réel $x$ non nul associe son inverse, noté ${\frac {1}{x}}$. Elle se note de la manière suivante :

Fonction inverse

Courbe représentative de la fonction $x\mapsto {\frac {1}{x}}$.

Notation	${\frac {1}{x}}$
Réciproque	${\frac {1}{x}}$
Dérivée	$-{\frac {1}{x^{2}}}$
Primitives	$\ln \vert x\vert +C$

Principales caractéristiques

Ensemble de définition	$\mathbb {R} ^{*}$
Ensemble image	$\mathbb {R} ^{*}$
Parité	impaire

Valeurs particulières

Limite en +∞	0
Limite en −∞	0

Particularités

Asymptotes	$x=0$ $y=0$
Points fixes	−1 ; 1

$f:{\begin{cases}\mathbb {R} ^{*}\to \mathbb {R} ^{*}\\x\mapsto f(x)=\displaystyle {\dfrac {1}{x}}.\end{cases}}$

Variations

Cette fonction est strictement décroissante sur l'intervalle ]–∞, 0[ des réels strictement négatifs, puis strictement décroissante sur l'intervalle ]0, +∞[ des réels strictement positifs, avec 0 comme « valeur interdite » (pôle). Mais elle n'est pas strictement décroissante sur ℝ* car si a < 0 < b, on conserve l'inégalité 1/a < 0 < 1/b.

La fonction inverse ne s'annule pas et n'admet pas de maximum ou minimum sur ℝ*, ni même sur ]–∞, 0[ ou sur ]0, +∞[.

Elle a pour limite 0 en +∞ et en –∞. Cette fonction permet donc de modéliser un certain nombre de comportements qui décroissent mais qui présentent une « borne inférieure » (les fonctions ne tendent pas vers –∞), comme la gravitation et la force électrostatique qui sont en 1/r².

En 0, sa limite à gauche vaut –∞ et à droite, +∞.

Représentation graphique

La représentation graphique de la fonction inverse est une hyperbole.

L'hyperbole d'équation $y={\frac {1}{x}}$ admet deux asymptotes : une horizontale (l'axe des abscisses, d'équation y = 0) et une verticale (l'axe des ordonnées, d'équation x = 0). Ces deux asymptotes étant (dans un repère orthonormal) perpendiculaires, l'hyperbole est dite équilatère (son excentricité vaut ${\sqrt {2}}$).

On remarque d'autre part que le centre de symétrie de cette hyperbole est le point (0, 0), ce qui traduit le fait que la fonction inverse est une fonction impaire.

On remarque enfin que cette hyperbole (H) possède deux axes de symétrie dont la droite d'équation y = x. En effet le point (x, y) appartient à (H) si et seulement si le point (y, x) appartient à (H) (y = 1/x équivaut à x = 1/y). Cette propriété graphique permet de remarquer que la fonction inverse est une involution, c'est-à-dire une bijection qui est sa propre réciproque : $f\circ f=\mathrm {id} _{\mathbb {R} ^{*}}$. Ou bien encore, pour tout réel x non nul, l'inverse de l'inverse de x est égal à x.

Continuité de la fonction inverse

La fonction inverse est continue (sur ℝ*).

Dérivée de la fonction inverse

La fonction inverse est même dérivable ; sa dérivée est la fonction $f'$ définie par :

$f':{\begin{cases}\mathbb {R} ^{*}\to \mathbb {R} ^{*}\\x\mapsto f'(x)=\displaystyle -{\dfrac {1}{x^{2}}}.\end{cases}}$

Démonstration

Soit $x$ un réel non nul arbitraire. Pour tout réel $h$ tel que $0<|h|<|x|$, on a :

${\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {1}{h}}\left({\dfrac {1}{x+h}}-{\dfrac {1}{x}}\right)={\frac {1}{h}}\left({\dfrac {x-(x+h)}{x(x+h)}}\right)={\dfrac {-1}{x(x+h)}}$

donc $\lim _{h\to 0}{\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\dfrac {-1}{x^{2}}}$, c'est-à-dire : $f'(x)=-{\dfrac {1}{x^{2}}}$.

Illustration :

La dérivée de $y={\dfrac {1}{x}}$ au point d'abscisse 1 vaut $-{\dfrac {1}{1^{2}}}=-1$ donc la pente de la tangente à la courbe de la fonction inverse au point de coordonnées (1, 1) vaut –1.

La fonction inverse est concave sur l'intervalle ]–∞, 0[ et convexe sur ]0, +∞[.

Primitives de la fonction inverse

Le logarithme naturel, ou logarithme népérien, noté ln, est défini dans l'article détaillé comme la fonction de ]0,+∞[ dans ℝ dont la dérivée est la fonction inverse, et dont la valeur en 1 est 0. Les primitives sur ]0,+∞[ de la fonction inverse sont donc les fonctions de la forme x ↦ (ln x) + C, où C est une constante réelle arbitraire.

Fonction inverse abstraite

On peut définir de manière générale une fonction inverse $f$ dans un groupe $(G,\times )$ par

$\forall x\in G\quad f(x)=x^{-1}.$

L'inverse permet donc d'étendre aux exposants entiers négatifs la notion de puissance d'un nombre (ou d'un élément d'un groupe) en posant, pour tout entier n positif : x^–n = (xⁿ)⁻¹.

Extension à d'autres groupes

Plan complexe

La fonction inverse peut donc être étendue sur le plan complexe privé de l'origine par :

${\begin{aligned}f:&\ \mathbb {C} ^{*}&\to &\ \mathbb {C} ^{*}\\\ &\ z=x+\mathrm {i} y&\mapsto &\ {\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}={\frac {x-\mathrm {i} y}{x^{2}+y^{2}}}.\end{aligned}}$

Quaternions

La fonction inverse peut donc être définie pour tout quaternion non nul (au moins une des quatre composantes x, y, z, w est non nulle) :

${\begin{aligned}f:&\ \mathbb {H} ^{*}&\to &\ \mathbb {H} ^{*}\\\ &\ q=x+yi+zj+wk&\mapsto &\ q^{-1}={\frac {x-yi-zj-wk}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}}.\end{aligned}}$

Voir aussi

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Multiplicative Inverse », sur MathWorld