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Développement limité

Approximation d'une fonction mathématique
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Développement.

En physique et en mathématiques, un développement limité (noté DL) d'une fonction en un point est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage de ce point, c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme :

  • d'une fonction polynôme dont le degré est appelé l'ordre du développement ;
  • et d'un reste qui peut être négligé lorsque la variable est suffisamment proche du point considéré.

En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement limité, à condition que l'erreur (c’est-à-dire le reste) ainsi faite soit inférieure à l'erreur autorisée. Si l'on se contente d'un développement d'ordre un, on parle d'approximation linéaire ou d'approximation affine.

En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes.

Sommaire

DéfinitionsModifier

Soit f une fonction à valeurs réelles[1] définie sur un intervalle I, et  . On dit que f admet un développement limité d'ordre n[2] (abrégé par DLn) en x0, s'il existe n + 1 réels   tels que la fonction   définie par :

 
vérifie : R(x) tend vers 0 lorsque x tend vers x0, et ce « plus rapidement » que le dernier terme de la somme, c'est-à-dire que :
 

Les fonctions R vérifiant ceci sont notées   (voir l'article « Comparaison asymptotique », et plus précisément la famille des notations de Landau). On écrit donc :

 

Il est fréquent d'écrire un développement limité en posant x = x0 + h :

 
Conséquences immédiates
  • Si f admet un DL0 en x0, alors a0 = f(x0).
  • Si f admet un DLn en x0, alors elle admet un DLk en x0 pour tout entier k < n.
  • Une condition nécessaire et suffisante pour que f admette un DLn en x0 est l'existence d'un polynôme   tel que  . S'il existe un tel polynôme  , alors il en existe une infinité d'autres, mais un seul d'entre eux est de degré inférieur ou égal à   : le reste de la division euclidienne de   par  [3]. On l'appelle la partie régulière, ou partie principale, du DLn de f en x0. On identifie parfois, par abus de langage[2], le DLn avec sa partie régulière.

Opérations sur les développements limitésModifier

Somme[4]
Si f et g admettent deux DLn en x0, alors f + g admet un DLn en x0, dont la partie régulière s'obtient en ajoutant les deux parties régulières des DLn de f et g.
Multiplication par un scalaire
Si f admet un DLn en x0, alors λf admet un DLn en x0, dont la partie régulière s'obtient en multipliant la partie régulière du DLn de f par λ.
Produit[4]
Si f et g admettent deux DLn en x0, de parties régulières respectives Pn et Qn, alors fg et PQ admettent un DLn en x0, de même partie régulière.
Si x0 = 0, cette partie régulière est le reste de la division euclidienne de PQ par Xn+1.
Inverse
Si u(x0) = 0 et si u admet un DLn en x0, alors 1/1 – u admet un DLn. La partie régulière de ce développement limité est celle du DLn de   en x0.
Quotient
On peut combiner le produit et l'inverse, ou faire une division suivant les puissances croissantes de la partie régulière du numérateur par celle du dénominateur.
Composition[5]
Si u admet un DLn en x0 de partie régulière Pn et si v admet un DLn en u(x0) de partie régulière Qn, alors vu et QnPn possèdent un DLn en x0, de même partie régulière.
« Intégration »[6]
Si f admet un DLn en x0,  , alors toute primitive F de f admet un DLn + 1 en x0 qui est
 
Dérivation
Il n'existe pas de théorème général sur l'existence d'un DLn en x0 pour la dérivée d'une fonction admettant un DLn + 1 en x0.
Par exemple, en 0, la fonction xx3sin(1/x) – prolongée par 0 ↦ 0 – admet un DL2 (il s'agit de 0 + o(x2)) mais sa dérivée n'admet pas de DL1.
Par contre, comme déjà dit, si F' admet un DLn en x0, alors la partie régulière de ce DL est la dérivée de la partie régulière du DLn + 1 de F en x0.

Développement limité et fonctions dérivablesModifier

Article détaillé : Formule de Taylor-Young.

Le théorème de Taylor-Young assure qu'une fonction f dérivable n fois au point x0 (avec n ≥ 1) admet un DLn en ce point :

 

soit en écriture abrégée

 .

On le démontre[7] par récurrence sur n, grâce au théorème ci-dessus d'« intégration » terme à terme d'un DL.

L'existence d'un DL0 en x0 équivaut à la continuité en x0, et l'existence d'un DL1 en x0 équivaut à la dérivabilité en x0. En revanche, pour n ≥ 2, l'existence d'un DLn en x0 n'implique pas que la fonction soit n fois dérivable en x0 (par exemple xx3sin(1/x) — prolongée par continuité en 0 — admet, en 0, un DL2 mais pas de dérivée seconde).

Quelques utilisationsModifier

Le développement d'ordre 0 en x0 revient à écrire que ƒ est continue en x0 :

 

Le développement limité d'ordre 1 en x0 revient à approcher une courbe par sa tangente en x0 ; on parle aussi d'approximation affine :

 .

Son existence équivaut à la dérivabilité de la fonction en x0.

Le développement limité d'ordre 2 en x0 revient à approcher une courbe par une parabole, ou loi quadratique, en x0. Il permet de préciser la position de la courbe par rapport à sa tangente au voisinage de x0, pourvu que le coefficient du terme de degré 2 soit non nul : le signe de ce coefficient donne en effet cette position (voir également l'article fonction convexe).

Le changement de variable h = 1/x permet, à l'aide d'un DL0 en 0, de chercher une limite à l'infini, et, à partir d'un DL1 en 0, de déterminer l'équation d'une asymptote (comme pour la tangente, le DL2 permet de préciser la position de la courbe par rapport à l'asymptote).

Quelques exemplesModifier

 
Fonction cosinus et son développement limité d'ordre 4 en 0.

Les fonctions suivantes possèdent des DLn en 0 pour tout entier n.

  •   (une conséquence en est la somme de la série géométrique).
  • ln(1 + x)   par intégration de la formule précédente pour n = m – 1, changement de x en –x et changement d'indice k = i + 1
  • ex   (en utilisant la formule de Taylor)
  • sin   à l'ordre 2n + 2. La partie principale du DL à l'ordre 2n + 1 est la même car le terme en x2n+2 est nul (comme tous les termes d'exposant pair) et o(x2n+2) = o(x2n+1).
  • cos   à l'ordre 2n + 1. La partie principale du DL à l'ordre 2n est la même, car le terme en x2n+1 est nul (comme tous les termes d'exposant impair) et o(x2n+1) = o(x2n).
  • (1 + x)a  

Ces exemples sont en outre développables en séries entières.

FormulaireModifier

Développement limité en 0 de fonctions usuelles :

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  • tan  , où les   sont les nombres de Bernoulli.
  • cosh  
  • sinh  
  • tanh  
  • arcsin  
  • arccos  
  • arsinh  
  • arctan  
  • artanh  

Approximations affines : développements limités d'ordre 1Modifier

Article détaillé : Approximation affine.

On utilise fréquemment des développements limités d'ordre 1 (encore appelés « approximations affines », ou « approximations affines tangentes »), qui permettent de faciliter les calculs, lorsqu'on n'exige pas une trop grande précision ; ils sont donnés, au point x0, par :

 

(on retrouve l'équation de la tangente au graphe de f).

En particulier, on a, au point 0 :

  •   et donc
    •   et
    •  
  •  
  •  

Développements usuels en 0 de fonctions trigonométriquesModifier

  • À l'ordre 2 :
    •  ,  ,
    •  ,  ,
    ces formules étant souvent connues sous le nom d'approximations des petits angles, et
  • à l'ordre 3 :
     .

Notes et référencesModifier

  1. La notion de développement limité peut se généraliser au cas où la fonction est à valeurs complexes ou vectorielles, mais ce cas n'est pas abordé dans cet article ; pour d'autres généralisations, voir l'article développement asymptotique.
  2. a et b Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès, Cours de mathématiques, t. 2 : Analyse, Bordas, , 4e éd., p. 148, définition IV.7.2 ; le polynôme lui-même (qui est unique s'il existe) est appelé par eux développé limité de f, et noté DLn(f) ou, si la précision est nécessaire, DLn(f, x0).
  3. Pour une démonstration, voir par exemple le § « Définition » du chapitre « Développements limités » sur la Wikiversité.
  4. a et b Pour une démonstration, voir par exemple le § « Somme et produit » du chapitre « Développements limités » sur la Wikiversité.
  5. Un exemple est présenté dans le § « Composition » du chapitre « Développements limités » sur la Wikiversité.
  6. Pour une démonstration, voir par exemple le § « Dérivation et intégration terme à terme » du chapitre « Développements limités » sur la Wikiversité.
  7. Voir par exemple le § « Formules de Taylor » du chapitre « Développements limités » sur la Wikiversité.

Articles connexesModifier