Classe de régularité

classe de fonctions numériques dont les dérivées successives sont continues

En mathématiques et en analyse, les classes de régularité des fonctions numériques constituent un catalogue fragmentaire appuyé sur l’existence et la continuité des dérivées itérées, sans se préoccuper de la forme ou de l’allure de la fonction (monotonie, convexité, zéros, etc.).

Toutefois, les classes de régularité ne reflètent en aucun cas un type exhaustif des fonctions : en particulier, les critères portent sur la globalité du domaine de définition.

Domaine en dimension n = 1Modifier

Si J est un intervalle de ℝ et   un entier, on considère les espaces fonctionnels suivants :

  •   : l'ensemble des fonctions continues de J vers ℝ ;
  •   : l'ensemble des fonctions de J vers ℝ qui sont   fois dérivables ;
  •   : le sous-ensemble de   constitué des fonctions dont la  -ième dérivée est continue ;
  •  , ou de manière strictement équivalente   : l'ensemble des fonctions indéfiniment dérivables (c'est-à-dire   fois dérivables pour tout entier  ) de J vers ℝ, aussi appelées fonctions lisses ou régulières.

Ces ensembles sont des algèbres, et donc a fortiori des espaces vectoriels, sur ℝ.

La continuité est liée aux topologies usuelles sur J et sur ℝ. Par contre, il n’est pas précisé si J est ouvert, fermé, semi-ouvert, demi-droite ou ℝ entier. La topologie (ou éventuellement la norme) associée à ces espaces n’est pas non plus explicitée ici.

Lorsque le contexte est clair, l’« argument » ℝ est ignoré dans la notation, et il en va parfois de même du domaine de définition (c’est habituellement le cas lorsque J = ℝ).

Puisque la dérivabilité implique la continuité, ces ensembles satisfont la suite d'inclusions :

 

Deux autres catégories sont couramment évoquées :

  •   l’ensemble des fonctions continues par morceaux ;
  •   (avec  ) le sous-ensemble de   constitué des fonctions dont la  -ième dérivée est continue par morceaux ;
  •   le sous-ensemble de   constitué des fonctions dont le support est compact dans un ouvert contenu dans J ;
  •   le sous-ensemble de   constitué des fonctions dont le support est compact dans un ouvert contenu dans J.

Ils satisfont les inclusions suivantes :

 
Si l'intervalle J est non trivial, tous ces ensembles constituent, munis de leur lois, des espaces vectoriels de dimension card(ℝ).

Domaine en dimension n > 1Modifier

Soit   un ouvert borné, de frontière   et d’adhérence  .

Pour simplifier, supposons que   soit un domaine « régulier » ; par exemple et pour fixer les idées, que le théorème de la divergence soit valable pour toute fonction suffisamment lisse sur  .

Dans ce cadre, les définitions précédentes conservent leur validité en remplaçant J par   et en prenant « dérivée » au sens de « différentielle ».

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