Fonction W de Lambert

fonction mathématique

En mathématiques, et plus précisément en analyse, la fonction W de Lambert, nommée ainsi d'après Jean-Henri Lambert, et parfois aussi appelée la fonction Oméga, est la réciproque de la fonction de variable complexe f définie par f(w) = w ew, c'est-à-dire que pour tous nombres complexes z et w, nous avons :

Les deux branches de la fonction de Lambert sur l'ensemble ]–1/e , +∞[.

Puisque la fonction f n'est pas injective, W est une fonction multivaluée ou « multiforme » qui comprend deux branches pour les valeurs réelles . Une des branches, la branche principale, W0 peut être prolongée analytiquement en dehors de ]−∞, –1/e]. Pour tout nombre complexe z ∉ ]−∞, –1/e], on a :

La fonction W de Lambert ne peut pas être exprimée à l'aide de fonctions élémentaires.

HistoriqueModifier

Lambert s'est intéressé à l'équation connue sous le nom d'équation transcendante de Lambert en 1758[1], ce qui conduisit à une note de Leonhard Euler en 1783[2] qui discutait le cas particulier de  . La première description de la fonction W semble due à George Pólya et Gábor Szegő en 1925[3]. La fonction de Lambert fut « redécouverte » tous les dix ans environ dans des applications spécialisées, mais son importance ne fut pas vraiment appréciée avant les années 1990. Lorsqu'il fut annoncé que la fonction de Lambert donnait une solution exacte aux valeurs propres de l'énergie du système quantique correspondant au modèle décrit par l'opérateur de Dirac à puits double pour le cas de charges égales — un problème physique fondamental —, Corless et d'autres développeurs du système Maple firent une recherche bibliographique et découvrirent que cette fonction apparait un peu partout dans des applications pratiques[4].

Branches de la « fonction » de LambertModifier

 
Représentation graphique de la branche W0 de la fonction W de Lambert.
 
La partie supérieure de la courbe (y > −1) est la branche W0 ; la partie inférieure (y < −1) est la branche W-1 définie pour x < 0.

Si nous nous limitons aux arguments réels x ≥ −1/e, il existe une fonction et une seule W0 à valeurs réelles   telle que

 
 

c'est la branche principale de W dans ce domaine. La représentation graphique de W0 figure à droite.

On note généralement W-1 l'autre branche à valeurs réelles, c'est-à-dire la branche correspondant aux arguments x tels que  , et à valeurs  .

Propriétés élémentairesModifier

Expression de eW(y)Modifier

On a W(y) eW(y) = y, donc, si W désigne une des deux branches W0 ou W-1 :

 

Conséquences de la définitionModifier

De l'égalité de la définition, on peut déduire :

  •   (où W désigne l'une quelconque des deux branches)
  •   si x ≥ - 1 .
  •   si x ≤ - 1 .
  •   (où W désigne l'une quelconque des deux branches et x est non nul)
  •   si x > 0[5]


  •  
  •  
  •  
  •  

Valeurs particulièresModifier

Voici quelques valeurs remarquables de W, obtenues simplement en remarquant que f(0)=0, f(1)=e, f(-1)=-1/e, etc. :

  •  
  •  
  •  
  •   où Ω est la constante oméga
  •  

On peut bien sûr obtenir de même des valeurs complexes de W(x) pour certains x< −1/e; ainsi  

DérivéeModifier

Si W désigne une des deux branches W0 ou W-1, la formule de dérivation des bijections réciproques montre que sa dérivée est :

pour  
pour x ≠ 0 et  
 

ce qui a pour conséquence que chacune des deux branches de W satisfait l'équation différentielle :

  pour x ≠ −1/e.

Cette équation est d'ailleurs à variables séparables, et ses solutions sont toutes de la forme   (avec k ≠ 0) ou  .

PrimitivesModifier

La fonction W désignant une des deux branches W0 ou W-1, beaucoup de fonctions impliquant W, peuvent être intégrées en utilisant le changement de variable w = W(x), i.e. x = wew :

 

Méthodes de calcul de W0Modifier

Par la série de TaylorModifier

 
Représentation de la branche principale W0 de la fonction de Lambert dans le plan complexe (le code des couleurs utilisé est commenté précisément au début de l'article « Fonction zêta »).

La série de Taylor de W0 au voisinage de 0 peut être obtenue par l'utilisation du théorème d'inversion de Lagrange[6] et est donnée par

 

Le rayon de convergence est égal à 1/e. Cette série peut être prolongée en une fonction holomorphe définie en tout nombre complexe n'appartenant pas à l'intervalle réel ]−∞, –1/e] ; cette fonction holomorphe est aussi appelée la branche principale de la fonction W de Lambert.

Notons bien le développement suivant :  . Cette approximation peut être très utile en physique.

Comme limite d'une suiteModifier

On peut calculer W0(x) de manière itérative, en commençant avec une valeur initiale w0 égale à 1 et en calculant les termes de la suite

 .

Si cette suite converge, on voit aisément que sa limite est W0(x). On démontre que c'est en effet le cas si   :

 

Il est moins simple, mais beaucoup plus efficace, d'utiliser la méthode de Newton, partant de w0 = 1, et posant

 

cette suite converge (très rapidement) vers W0(x) pour tout x > 1/e.

Développements asymptotiques de W0Modifier

On a, pour x tendant vers  , le développement asymptotique à trois termes suivant[7] :

 

On a pour x tendant vers -1/e, le développement asymptotique de W0 :

 

Développement asymptotique de W−1Modifier

On peut également obtenir un développement asymptotique pour W-1 avec x tendant vers 0- :

 

UtilisationModifier

Beaucoup d'équations impliquant des exponentielles peuvent être résolues par l'utilisation de la fonction W. La stratégie générale est de déplacer toutes les instances de l'inconnue d'un côté de l'équation et de le faire ressembler à x ex. À ce point la « fonction » W nous fournit les solutions :

 

(chaque branche différente de la « fonction » W donne une solution différente).

Exemples d'applicationsModifier

Équation   2t = 5tModifier

Par exemple, pour résoudre l'équation   nous divisons par   pour obtenir   La définition de la « fonction » W donne alors  , soit  

Comme   cette formule donne deux solutions réelles :   et  

Équations   xx = z   et   x logb (x) = aModifier

Avec la « fonction » W de Lambert, on peut résoudre des équations du type xx = z (avec z > 0 et x > 0) par :

 

donc

  et (si z ≠ 1)  .

Les solutions de l'équation :

 

(avec b > 0, b ≠ 1 et x > 0), équivalente à  ,

sont données avec la « fonction » W de Lambert :   et (si a ≠ 0)  .

La tétration infinieModifier

En général, la tour de puissances infinie   converge si et seulement si  .

Si r est un nombre réel avec   et x le nombre  , alors la limite de la suite définie par   et   est r :

 .

Quand une tétration infinie   converge, la fonction   de Lambert fournit la valeur de la limite réelle comme :  
(  si x ≠ 1).

Cela peut être étendu aux nombres complexes z avec la définition :

 

Log z représente la branche principale de la fonction logarithme complexe.

Équation   x + ex = yModifier

La bijection réciproque de   peut être obtenue explicitement : résolvant l'équation   on remarque d'abord qu'elle équivaut, en posant   à   et donc   soit :

 

Équations   a ex + bx + c = 0   et   a ln(x) + bx + c = 0Modifier

Résolution des équations de forme :   avec   et   dans  .

On pose  , ce nombre est appelé le discriminant. Il intervient dans la détermination du nombre de solutions de l'équation.

Théorème —  Les solutions de l'équation   sont:

  • Si   ou si   alors l'équation admet une solution dans  .
 
  • Si   alors l'équation admet deux solutions dans  .
 
 
  • Si   alors   n'admet pas de solution dans  .

À l'aide du changement de variable x = ln(z), on en déduit la résolution des équations de la forme :   avec   et x dans  . Les solutions sont alors (en n'oubliant pas que W est multivaluée) de la forme :

  ,

 .

Équations   a λx + bx + c = 0   et   a logλ(x) + bx + c = 0Modifier

Plus généralement, la fonction W de Lambert permet de résoudre les équations de la forme :   et   avec   et  , x dans   et  .

Il suffit pour cela de considérer une fonction   tel que   de répéter la démonstration ci-dessus et de considérer la formule de changement de base :  . On obtient alors, avec   :

 

et avec  :

 

Il faut alors considérer le nombre   pour déterminer la quantité de solutions des équations.

Applications en physiqueModifier

Constante de WienModifier

Dans la loi du déplacement de Wien :  . La constante de Wien, noté   peut être déterminée explicitement à l'aide de la fonction W de Lambert.

Elle vaut :  , avec h la constante de Planck, c la vitesse de la lumière dans le vide et kB la constante de Boltzmann.

Courant dans un circuit diode-résistanceModifier

La solution pour connaître la valeur du courant dans un circuit en série de diode/résistance peut être donnée par la fonction W de Lambert. Voir la modélisation d'une diode (en).

Diverses formules intégralesModifier

  (intégrale de Gauss en coordonnées polaires)

On obtient alors par changements de variable les égalités remarquables :

 
 

Représentations graphiquesModifier

GénéralisationsModifier

La fonction W de Lambert fournit des solutions exactes aux équations « algébriques-transcendantes » (en x) de la forme:

 

ou a0, c et r sont des constantes réelles. La solution est  

Les généralisations de la fonction W de Lambert[8],[9],[10] incluent :

 
r1 et r2 sont des constantes réelles, les racines du polynôme quadratique. Dans ce cas, la solution est une fonction avec un seul argument x mais les termes comme ri et ao sont des paramètres de la fonction. De ce point de vue, la généralisation ressemble à la série hypergéométrique et la fonction de Meijer G mais appartient pourtant à une « classe » différente de fonctions. Quand r1 = r2, chaque côté de (2) peut être factorisé et réduit à (1) et donc la solution se réduit à celle de la fonction standard de W.

L'équation (2) est celle gouvernant le champ d'un dilaton parvenant du modèle R=T- par lequel est dérivée la métrique du système gravitationnel de deux corps dans les dimensions 1+1 (c’est-à-dire une dimension spatiale et une dimension temporelle) pour le cas des masses (au repos) inégales - ainsi que les valeurs propres de l'énergie du système quantique qui consiste du modèle décrit par l'opérateur de Dirac à puits double pour le cas de charges inégales en une dimension.

  • les solutions analytiques pour les valeurs propres de l'énergie d'un cas spécial de la version quantique du problème des trois corps, c’est-à-dire l’ion hydrogène moléculaire (en trois dimensions)[12].

La partie de droite de (1) (ou (2)) est maintenant un quotient de « polynômes » d'ordre infini en x :

 
ri et si sont des constantes réelles distinctes et x est une fonction de la valeur propre de l'énergie et la distance internucléaire R. L'équation (3) avec ces cas spécialisés et exprimés dans (1) et (2) correspond à une classe considérable d'équations à délai différentiel. La « fausse dérivée » de Hardy fournit des racines exactes pour des cas spéciales de (3)[13].

Les applications de la fonction W de Lambert dans les problèmes de la physique fondamentale ne sont pas épuisées même pour le cas standard exprimé dans (1), comme on vient de le voir dans les domaines de la physique atomique et moléculaire, ainsi qu'en optique[14].

NotesModifier

  1. (la) J. H. Lambert, « Observationes variae in mathesin puram », Acta Helveticae physico-mathematico-anatomico-botanico-medica, vol. III,‎ , p. 128-168 (lire en ligne).
  2. (la) L. Euler, « De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus », Acta Acad. Scient. Petropol., vol. 2,‎ , p. 29-51, réimprimée dans (la) L. Euler, Opera Omnia, Series Prima, vol. 6 : Commentationes Algebraicae, Leipzig, Teubner, (lire en ligne), p. 350-369.
  3. (en) George Pólya et Gábor Szegő, Aufgaben und Lehrsätze der Analysis, Berlin, Springer-Verlag, .
  4. (en) R. M. Corless, G. H. Gonnet, D. E. G. Hare et D. J. Jeffrey, « Lambert's W function in Maple », The Maple Technical Newsletter (MapleTech), vol. 9,‎ , p. 12-22.
  5. (en) http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html
  6. Donatella Merlini, Renzo Sprugnoli, Maria Cecilia Verri, « The method of coefficients », Amer. Math. Monthy, vol. 114, no 1,‎ , p. 40-57
  7. On trouvera beaucoup plus de termes de ce développement dans (en) Eric W. Weisstein, « Lambert W-Function », sur MathWorld
  8. (en) T. C. Scott et R. B. Mann, « General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function », AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 17, no 1,‎ , p. 41-47 (lire en ligne)
  9. (en) T. C. Scott, G. Fee et J. Grotendorst, « Asymptotic series of Generalized Lambert W Function », SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation), vol. 47, no 185,‎ , p. 75–83 (lire en ligne)
  10. T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst et W.Z. Zhang, « Numerics of the Generalized Lambert W Function », SIGSAM, nos 1/2,‎ , p. 42–56 (lire en ligne)
  11. (en) P. S. Farrugia, R. B. Mann et T. C. Scott, « N-body Gravity and the Schrödinger Equation », Class. Quantum Grav., vol. 24,‎ , p. 4647-4659 (lire en ligne)
  12. (en) T. C. Scott, M. Aubert-Frécon et J. Grotendorst, « New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion », Chem. Phys., vol. 324,‎ , p. 323-338 (lire en ligne)
  13. (en) Aude Maignan et T. C. Scott, « Fleshing out the Generalized Lambert W Function », SIGSAM, vol. 50, no 2,‎ , p. 45–60 (DOI 10.1145/2992274.2992275)
  14. (en) T. C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini et J. D. Morgan III, « The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions », Phys. Rev. A, vol. 75,‎ , p. 060101 (DOI 10.1103/PhysRevA.75.060101)

RéférencesModifier

  • (en) R. M. Corless et al., « On the Lambert W function », Adv. Comput. Math., vol. 5,‎ , p. 329-359 (lire en ligne) ou