Affinité (mathématiques)

En mathématiques, en géométrie en particulier, une affinité est une application affine ou linéaire égale à l'identité dans une direction et à une homothétie dans une autre.

Affinité vectorielleModifier

 
Construction d'une affinité

Les affinités vectorielles sont les endomorphismes qui sont somme directe de l'identité et d'une homothétie. Plus précisément :

Soit   un espace vectoriel et deux sous espaces supplémentaires   et   ( ) ;

l'affinité de base   (ou sur  ), de direction   et de rapport   est l'unique endomorphisme   qui se restreint à   en l'identité, et à   en l'homothétie de rapport   :

Si   alors  .

Caractérisation en dimension finie : endomorphisme diagonalisable ayant deux valeurs propres au plus dont une est l'unité.

Les affinités recouvrent :

  • l'identité ( )
  • les projections, ou projecteurs ( )
  • les symétries, ou involutions linéaires ( ), (se réduisant à l'identité si la caractéristique du corps est 2)
  • les homothéties (  )
  • les dilatations, ou affinités hyperplanes, ( ).

Affinité ponctuelleModifier

Étant donné un sous-espace affine   d'un espace affine   associé à   et une direction supplémentaire  , l'affinité de base   (ou sur  ) de direction   et de rapport   est l'application définie par la construction :

  1. pour tout point   dans   on trace l'unique sous-espace   passant par   et de direction   ;
  2.   coupe   en un point unique   ;
  3. l'image de   par   est alors le point   tel que  .

Les applications affines de partie linéaire une affinité vectorielle sont des affinités ponctuelles à condition d'avoir au moins un point fixe. Dans le cas général, on obtient des affinités glissées, composées d'une affinité ponctuelle et d'une translation de vecteur parallèle à la base de l'affinité ponctuelle.