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Courbe représentative de la fonction racine cubique sur R.

En mathématiques, la racine cubique d'un nombre réel est l'unique nombre réel dont le cube (c'est-à-dire la puissance 3e) vaut  ; en d'autres termes, . La racine cubique de est notée .

On peut également parler des racines cubiques d'un nombre complexe.

Sommaire

DéfinitionModifier

De façon générale, on appelle racine cubique d'un nombre (réel ou complexe)   tout nombre   solution de l'équation :

 

Si   est réel, cette équation a dans R une unique solution, qu'on appelle la racine cubique du réel   :  .

Dans C, cette équation a trois solutions distinctes, qui sont les racines cubiques du complexe  . Lorsque ce complexe   est un réel, ces trois solutions sont :  ,   et  , où   est la racine cubique réelle de   et 1, j et j sont les trois racines cubiques de l'unité dans C.

Racine cubique d'un nombre réelModifier

ExemplesModifier

La racine cubique de 8 est 2 car 2×2×2 = 8. La racine cubique tient son nom du cube : la racine cubique est la longueur de l'arête d'un cube dont est donné le volume. On a un volume de 8 et une arête de 2 ; on écrit :

 .

La racine cubique de –27 est –3 car (–3)×(–3)×(–3) = –27.

 .

Fonction racine cubiqueModifier

Sur R, la fonction racine cubique, notée  , est celle qui associe à un nombre réel son unique racine cubique réelle.

Sur l'ensemble des réels strictement positifs, la fonction racine cubique est égale à la fonction puissance un tiers[Note 1] :

 .

PropriétésModifier

Racines cubiques d'un nombre complexeModifier

Tout nombre complexe non nul admet trois racines cubiques complexes distinctes, de somme nulle. Si Z est l'une d'elles, les deux autres sont jZ et j2Z, où

 

sont les trois racines cubiques de l'unité.

Symbole UnicodeModifier

U+221B racine cubique (HTML : ∛)

NoteModifier

  1. Comme toute fonction puissance définie en tant que fonction réelle, la fonction puissance 1/3 n'est définie que sur R+* : pour tout réel y > 0, y1/3 est l'exponentielle de base y du réel 1/3.

Voir aussiModifier

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