Mesure signée

En mathématiques et plus particulièrement en théorie de la mesure, une mesure signée est une extension de la notion de mesure dans le sens où les valeurs négatives sont autorisées, ce qui n'est pas le cas d'une mesure classique qui est, par définition, à valeurs positives.

DéfinitionModifier

Définition (mesure signée) — Soit   un espace mesurable, c'est-à-dire un couple formé d'un ensemble   muni d'une tribu  . Une mesure signée sur   est une fonction[1]

 

qui vérifie les deux propriétés suivantes

  •   ;
  • (sigma additivité) pour toute suite   d'ensembles disjoints dans   :
 .

Une mesure signée est dite finie si elle ne prend que des valeurs réelles, c'est-à-dire, si elle ne prend jamais les valeurs   ou  .

Pour clarifier, on utilisera le terme de « mesure positive », au lieu du simple « mesure », pour les mesures signées ne prenant jamais de valeurs strictement négatives.

PropriétésModifier

Dans toute cette section   est une mesure signée sur l'espace mesurable  .

Si une mesure signée prend la valeur   alors elle ne prend jamais la valeur   et inversement. Plus précisément

Propriété — Il n'existe pas   tels que   et  .

Si un ensemble mesurable A est de mesure finie, alors tous ses sous ensembles mesurables sont encore de mesure finie. En somme

Propriété — Si   est tel que   alors pour tout   on a aussi  .

Une mesure signée est finie si et seulement si elle est bornée. Autrement dit

Propriété (bornée identique à finie) —   est borné.

On a les relations suivantes

Propriété (relations élémentaires) — 1) Si   sont tels que   et   alors  .

2) Pour tout   on a  .

3) Pour tout   on a  .

Le résultat suivant s'apparente à une propriété de continuité d'une mesure signée[1]

Propriété (continuité des mesures signées) — 1) Si   est une suite croissante (pour l'inclusion) d'ensembles mesurables alors

 .

2) Si   est une suite décroissante (pour l'inclusion) d'ensembles mesurables qui ne sont pas tous de mesure   alors

 .

ExemplesModifier

  • Si   sont deux mesures positives sur l'espace mesurable   et si l'une d'elles est finie, alors leur différence   est une mesure signée sur  .
  • Soit   un espace mesuré (avec   une mesure positive). Soit   une fonction intégrable à valeurs réelles, alors la fonction
 
est une mesure signée finie sur  .
De plus si on pose   et    sont respectivement les parties positive et négative de  , alors   sont des mesures positives sur   et  .

Décomposition de HahnModifier

Définition (ensemble totalement négatif, nul et positif) — Soit   une mesure signée sur un espace mesurable   et  . On dit que, pour  ,   est

1) totalement négatif si pour tout ensemble mesurable   on a   ;

2) totalement nul si pour tout ensemble mesurable   on a   ;

3) totalement positif si pour tout ensemble mesurable   on a  .

Le théorème de décomposition de Hahn, du mathématicien autrichien Hans Hahn, énonce la chose suivante[1]

Théorème (décomposition de Hahn) — Soit   une mesure signée sur un espace mesurable  . Il existe deux ensembles mesurables   tels que

1)   ;

2)   ;

3)   est totalement positif pour   ;

4)   est totalement négatif pour  .

Une décomposition de Hahn de   est définie comme étant la donnée d'un couple   satisfaisant les quatre propriétés du théorème ci-dessus. Si   sont deux décompositions de Hahn de  , alors   et   sont totalement nuls pour   (où   désigne la différence symétrique).

Décomposition de JordanModifier

Le théorème de décomposition de Jordan, du mathématicien français Camille Jordan, est une conséquence du théorème de décomposition de Hahn. Il énonce la chose suivante[2]

Théorème (décomposition de Jordan) — Soit   une mesure signée sur un espace mesurable  . Il existe un unique couple   de mesures positives sur   satisfaisant les deux conditions suivantes

1)   ;

2) il existe   tel que   et  .

La décomposition de Jordan d'une mesure signée peut facilement se construire à partir d'une décomposition de Hahn. De plus cette construction ne dépend pas de la décomposition de Hahn choisie, plus précisément[1]

Propriétés de la décomposition de Jordan — Soit   une mesure signée sur un espace mesurable   et   sa décomposition de Jordan. Alors

1) Pour toute décomposition de Hahn   et pour tout   on a   et   (cela ne dépend donc pas de la décomposition de Hahn) ;

2) pour tout   on a

  et  .

Lien avec les fonctions à variations bornéesModifier

Il existe une correspondance[3],[4] entre les mesures signées finies sur  , où   est la tribu borélienne sur  , et les fonctions continues à droite, à variations bornées et tendant vers 0 en  . Plus précisément, pour une mesure signée finie   sur   on note

 .

Propriété — La fonction   est une bijection de l'ensemble des mesures signées finies sur   à l'ensemble des fonctions continues à droite, à variations bornées et tendant vers 0 en  .

De plus, la variation totale de   correspond à la variation totale de  , à savoir,  .

On peut aussi montrer que pour toute mesure signée finie  , la fonction   est localement absolument continue si et seulement si   est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue.

RéférencesModifier

  1. a b c et d Samuel Nicolay, « Mesure », sur http://www.afaw.ulg.ac.be/, 2019/2020, p. 81
  2. François de Marçay, « Théorie abstraite de l’intégration et théorème de Radon-Nikodym », sur IMO, p. 18
  3. Samuel Nicolay, « Mesure », sur http://www.afaw.ulg.ac.be/, 2019/2020, p. 96
  4. (en) Donald L Cohn, Measure Theory, Birkhäuser Boston, , p. 133

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

Liens externesModifier