Fonction bornée

Schéma d'une fonction bornée (rouge) et d'une fonction non bornée (bleu). Intuitivement, le graphique d'une fonction bornée reste dans une bande horizontale, contrairement au graphique d'une fonction non bornée.

En mathématiques, une fonction définie sur un ensemble à valeurs réelles ou complexes est appelée bornée si l'ensemble de ses valeurs est borné. Autrement dit, il existe un nombre réel tel que

pour tout x dans (on remarque que est nécessairement positif). Une fonction qui n'est pas bornée est dite non bornée.

Si est à valeurs réelles et si pour tout dans , alors la fonction est dite majorée par . Si pour tout dans , alors la fonction est dite minorée par . Une fonction à valeurs réelles est bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.

Un cas particulier important est celui d'une suite bornée, où est considéré comme l'ensemble des nombres naturels . Ainsi une suite est bornée s'il existe un nombre réel tel que

pour chaque entier naturel . L'ensemble de toutes les suites bornées forme l'espace des suites bornées, noté .

La définition de borne peut être généralisée aux fonctions à valeurs dans un espace plus général en exigeant que l'image soit un ensemble borné dans .

Notions connexesModifier

La notion de borne locale est plus faible que la notion de borne. Une famille de fonctions bornées peut être uniformément bornée.

Un opérateur borné   n'est pas une fonction bornée au sens de la définition de cette page (sauf si   est la fonction nulle), mais a la propriété plus faible de préserver la notion de borne : les ensembles bornés   sont envoyés sur les ensembles bornés  . Cette définition peut être étendue à n'importe quelle fonction   si   et   permettent le concept d'un ensemble borné.

ExemplesModifier

  • La fonction   est bornée.
  • La fonction   définie pour tous les réels x à l'exception de   et   est non bornée. À mesure que x s'approche   ou  , les valeurs de cette fonction deviennent de plus en plus grandes. Cette fonction peut être rendue bornée si l'on considère que son domaine est, par exemple,   ou  .
  • La fonction   définie pour tout réel x est bornée.
  • La fonction trigonométrique inverse arc tangente définie comme   est croissante pour tous les nombres réels x et est bornée pour   radians.
  • Chaque fonction continue   est bornée. Plus généralement, toute fonction continue d'un espace compact dans un espace métrique est bornée (cf Théorème des valeurs extrêmes pour plus de détails).
  • Toutes les fonctions à valeurs complexes   qui sont entières sont soit non bornées soit constantes, conséquence du théorème de Liouville. En particulier, le sinus complexe   doit être illimité car il est entier.
  • La fonction   qui prend la valeur   si   est un nombre rationnel et   si   est un nombre irrationnel (cf. Fonction Dirichlet ) est bornée. Ainsi, une fonction n'a pas besoin d'être "agréable" ou "gentille" pour être bornée. L'ensemble de toutes les fonctions bornées définies sur   est beaucoup plus grand que l'ensemble des fonctions continues sur cet intervalle.

RemarquesModifier

  • L’existence de bornes permet de justifier l’existence de limites finies pour une fonction croissante sur un intervalle.

Voir égalementModifier